Integral of

(tan x)^1/2 + (cot x)^1/2

.Q. Intergrate : √ (tanx) + √(cotx) 

ANS : I =  ∫  { √ (tanx) + √(cotx) } dx

Apply : tanx = sinx / cosx  and  cotx = cosx / sinx

=> ∫  { √ (sinx/ cosx) + √(cosx / sinx) } dx

=> ∫  { √ (sin²x) + √(cos²x) } dx  / √(cosx *sinx)

=>  ∫  ( sinx +  cosx )  dx /  √( sinx cosx )

=> √2 * ∫  ( sinx +  cosx )  dx /  √( 2 * sinx cosx )

=> √2 * ∫  ( sinx +  cosx )  dx /  √( 1-1 + 2 * sinx cosx )

=> √2 * ∫  ( sinx +  cosx )  dx /  √( 1- { 1 - 2 * sinx cosx} )

=> √2 * ∫  ( sinx +  cosx )  dx /  √( 1- { sin²x +  cos²x - 2 * sinx cosx} )

=> √2 * ∫  ( sinx +  cosx )  dx /  √( 1- { sinx - cosx}²  )

Let  t = sin x - cos x  =>  dt = (cosx + sinx ) dx  =>  dt  = (sinx + cosx) dx  

∴ √2 * ∫ dt /  √( 1- { t }²  )

Apply :  ∫ [1 /  √( 1- x²  ) ] dx  =  sin^-1x + C

=>  √2 * sin^-1t + C

∴ I = √2 * sin^-1(sin x - cos x )+ C

Therefore : ∫  { √ (tanx) + √(cotx) } dx = √2 * sin^-1(sin x - cos x )+ C

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