prove that n²-n is divisible by 2 for every positive integer n

 

Let x = n ² – n

⇒ x = n(n – 1)

Let n be an even positive integer.

n = 2p, where p is a positive integer.

∴x = 2p(2p – 1) 2[p (p – 1) =2a, where a = p(p – 1)] is a positive integer.

Thus, x is divisible by 2.

 

Let n be an odd positive integer.

n = 2q + 1, q is a whole number.

∴ x = n (n – 1) = 2q (2q – 1)= 2[q (2q – 1)] = 2b, where b = q (2q – 1) is a positive integer.

 

Thus, x i.e. n(n – 1) is divisible by 2.