A particle is thrown over a triangle from one end of horizontal and grazing the vertex falls at other end of base . If A and B be the base angles and C the angle of projection prove tan C= tan A + tan B

Taking horizontal base ab as x-axis and a as origin.Drawing cd perpendicular to ab. Let cd=had=hcot Adb=hcot BThus, ab=h (cot A+cot B)--(i)Coordinates of c are (ac, cd)i.e. (hcot A,h)Equation of the path is,y=x tan θ-gx22u2cos2θThus, c (hcotA,h) lies on it.So,h=h cot A.tan C-gh2cot2A2u2cos2Ci.e. 1=cot A.tan C-ghcot2A2u2cos2C---(ii)Horizontal range=ab=u2sin 2CgTherefore, h(cotA+cot B)=u2sin 2Cg   [using (i)]u2=gh(cotA+cot B)2sin 2CFrom (ii),1=cot AtanC-ghcot2A2cos2C.sin 2Cgh(cotA+cot B)=cot AtanC-cot2A. 2sinCcosC2cos2C(cotA+cot B)=cot AtanC-cot2A.tan Ccot A+cot B=tan C[ cot A-cot2A(cotA+cot B)]=tan C.(cotAcot B)(cotA+cot B)Thus, tan C=(cotA+cot B)(cotAcot B)=1cot A+1cot BOr tan C=tan A+tan B

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