↵A uniform rod of mass m and length L is free to rotate in the vertical plane about a horizontal - Physics - Kinematics

Question

↵A uniform rod of mass m and length L is free to rotate in
the vertical plane about a horizontal axis passing through its end
The rod is released from rest in the position shown by slightly
displacing it clockwise Find the hinge reaction at the axis of
rotation at the instant the rod turns through 90 degree and 180
degree

Pintu B. · Accepted Answer

Dear Student ,
You didn't attach a diagram giving the "position shown"
 I'll assume the rod is standing up vertically above the point of support, since otherwise it neither have the required energy, nor be at rest needing to be nudged
 The initial potential energy PEi with the rod at the top is converted into kinetic energy KE(θ) as it falls and simultaneously rotates in a circle of radius L
 Equating expressions for KE(θ) and PEi will yield a velocity, from which can be calculated the centripetal force Fcf exercised by the hinge point
   There is also a gravitational force Fg at work, which you may want to consider as well
 The centripetal force acting to keep the rod moving in a circle is given by:   (1) Fcf = mv2L Therefore, we must find the velocity v at θ = 90° and 180°
 Use conservation of energy:   (2) PEi = mgΔh   and   (3) KE = 12Iω2,   where  (4) ω = vL  and  (5) I = mL2 3, the moment of inertia for a rod rotating about an end-point axis   Equating PEi and KE, we get:   (6) mgΔh = 12Iω2   Substituting (4) and (5) we can expand the right-hand side of (6) to get: = 12 mL2 3 vL2 Expanding and cancelling like terms, we get:   (7) gΔh =1213(v )2 Solving for v2:   (8) v2 = 6gΔh   Substituting in (1) gives us the centripetal force:   (9) Fcf = mv2 L= m(6g Δh)LFor the 90° case Δh=L/2, because the center of mass of the rod is at L/2, so   (10) Fcf(90°) = 3mg (= 3Fg)   Since gravity is acting at a right angle to Fcf(90°), there is no contribution of it to the hinge force Fh, and   (10
1) Fh = Fcf(90°) = 3mg    For the 180° case Δh =L (again, the COM falls a distance of L), so   (11) Fcf(180°) = mv2L = m(6gL) L= 6mg   Since gravity is acting aligned with Fcf(180°) , we need to add that to Fcf to get the hinge force Fh:  (12) Fh =Fcf(180°)+ Fg = 6mg+mg=7mg

Hope this helps you
Regards