by mathematical induction prove that : 

x2n-1​ -1 is divisible by x-1


 

To Prove:-x2n-1-1 is divisible by x-1.For n=1x21-1-1=x-1, divisible by x-1.So, it is true for n=1Let us assume that , it is true for n=k.x2k-1-1=x-1d, where d is any natural number.For n=k+1x2k+1-1-1=x2k-1.x2-1=x2x2k-1-1+1-1=x2x-1d+1-1=x2 x-1 d +x2-1=x2 x-1 d +x-1x+1=x-1x2d+x+1=x-1m, where m = x2d+x+1So, it is divisible by x-1 , for n=k+1.Hence by PMI , it is true for all nN.

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