By Principle of Mathematical Induction, prove that:

12n  +  2.5n-1   is divisible by 7.

Let Pn be the given statement given by Pn : 12n + 2 . 5n-1 is divisible by 7.Now, P1 :121 + 2 . 51-1 is divisible by 7.Since, 121+2 . 51-1 = 12 + 2 = 14 which is divisible by 7So, P1 is true.Let Pm be true. Then,12m + 2 . 5m-1 is divisible by 7.12m + 2 . 5m-1 = 7λ, for some λN     .....1We shall now show that Pm+1 is true.For this, we have to show that 12m+1 + 2 . 5m is divisible by 7.Now,  12m+1 + 2 . 5m  = 12m . 12 + 2 . 5m12m+1 + 2 . 5m = 127λ-2.5m-1 + 2.5m12m+1 + 2 . 5m = 84λ - 24 . 5m-1 + 2. 5m12m+1 + 2 . 5m = 84λ + 5m2 - 24512m+1 + 2 . 5m =84λ + 5m×-14512m+1 + 2 . 5m =84λ - 5m-1 . 1412m+1 + 2 . 5m = 712λ - 2. 5m-1 = 7μ, where μ = 12λ - 2. 5m-1N12m+1 + 2 . 5m is divisible by 7Pm+1 is trueThus, Pm is true Pm+1 is true.Hence, by PMI, Pn is true for all nN.

  • 3
No similar links Please
  • 5
What are you looking for?