Find the equation of tangent plane at (alpha, beta, gamma) to the concoid ax​2 + by2 + cz2 = 1.

The equation of the given concoid is,ax2 + by2 + cz2 = 1    ....1Now, α, β, γ is any point on 1.Equation of the line passing through α, β, γ is,x-αl = y-βm = z-γn = λsay   ....2Any point on this line 2 is λl+α, λm+β, λn+γ.This point will lie on 1, if     aλl+α2 + bλm+β2 + cλn+γ2 = 1λ2al2 + bm2 + cn2 + 2λaαl + bβm + cγn + 2 + 2 + 2 - 1 = 0     ....3Since,  α, β, γ is a point on concoid, then2 + 2 + 2 = 1Now, equation 3 reduces to     λ2al2 + bm2 + cn2 + 2λaαl + bβm + cγn = 0λλal2 + bm2 + cn2 + 2aαl + bβm + cγn = 0λ = 0  or  λal2 + bm2 + cn2 + 2aαl + bβm + cγn = 0λ = 0  or  λ = -2aαl + bβm + cγnal2 + bm2 + cn2 Thus line 2 will be a tangent if both the roots are equal, then-2aαl + bβm + cγnal2 + bm2 + cn2  = 0aαl + bβm + cγn = 0     .......4Eliminating l, m and n from 2 and 4, we get locus of the tangent line as,     x-α + y-β + z-γ = 0aαx + bβy+cγz = 2 + 2 + 2aαx + bβy+cγz = 1             as, 2 + 2 + 2 = 1   .......5The equation aαx + bβy+cγz = 1  represents a tangent plane to concoid ax2 + by2 + cz2 =1.

  • 3
What are you looking for?