find the locus of the circumcentre of a triangle whose two sides are along the co-ordinate axes and third side passes through the point of intersection of the lines ax+by+c =0 and lx +my +n=0

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:



$$\begin{gathered} \mathrm{As} \mathrm{two} \mathrm{sides} \mathrm{are} \mathrm{along} \mathrm{co}-\mathrm{ordinate} \mathrm{axes}. \mathrm{Hence} \mathrm{triangle} \mathrm{OAB} \mathrm{will} \mathrm{be} \mathrm{right} \mathrm{angled}. \\ \mathrm{Let} \mathrm{locus} \mathrm{of} \mathrm{circumcentre} \mathrm{be} \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right) \mathrm{and} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{hypotenuse} \mathrm{be} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{p}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{q}}=1. \\ \mathbf{As}\mathbf{ }\mathbf{triangle}\mathbf{ }\mathbf{is}\mathbf{ }\mathbf{right}\mathbf{ }\mathbf{angled}\mathbf{ }\mathbf{hence}\mathbf{ }\mathbf{circumcentre}\mathbf{ }\mathbf{will}\mathbf{ }\mathbf{be}\mathbf{ }\mathbf{at}\mathbf{ }\mathbf{the}\mathbf{ }\mathbf{mid}\mathbf{ }\mathbf{point}\mathbf{ }\mathbf{of}\mathbf{ }\mathbf{the}\mathbf{ }\mathbf{hypotenuse}\mathbf{.} \\ \Rightarrow \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right)=\left(\frac{\mathrm{p}+0}{2},\frac{0+\mathrm{q}}{2}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{p}=2\mathrm{h} \mathrm{and} \mathrm{q}=2\mathrm{k}. \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{p}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{q}}=1 \mathrm{becomes} \\ \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{h}}+\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{k}}=1 \\ \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{h}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{k}}=2 ;\mathrm{equation}\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{Given} \mathrm{that} \mathrm{hypotenuse} \mathrm{passes} \mathrm{through} \\ \mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}=0 ;\mathrm{equation}\left(\mathrm{ii}\right) \\ \mathrm{lx}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0 ;\mathrm{equation}\left(\mathrm{iii}\right) \\ \mathrm{equation}\left(\mathrm{ii}\right)\times \mathrm{l} -\mathrm{equation}\left(\mathrm{iii}\right)\times \mathrm{a}, \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ \mathrm{alx}+\mathrm{bly}+\mathrm{cl}-\mathrm{alx}-\mathrm{amy}-\mathrm{an}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{bl}-\mathrm{am}\right)=\mathrm{an}-\mathrm{cl} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\mathrm{an}-\mathrm{cl}}{\mathrm{bl}-\mathrm{am}} \\ \mathrm{equation}\left(\mathrm{ii}\right)\times \mathrm{m} -\mathrm{equation}\left(\mathrm{iii}\right)\times \mathrm{b}, \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ \mathrm{amx}+\mathrm{bmy}+\mathrm{cm}-\mathrm{blx}-\mathrm{bmy}-\mathrm{bn}=0 \\ \mathrm{x}\left(\mathrm{am}-\mathrm{bl}\right)=\mathrm{bn}-\mathrm{cm} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\mathrm{bn}-\mathrm{cm}}{\mathrm{am}-\mathrm{bl}} \\ \mathrm{Putting} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right) \mathrm{in} \mathrm{equation}\left(\mathrm{i}\right), \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ \frac{1}{\mathrm{h}}\left(\frac{\mathrm{bn}-\mathrm{cm}}{\mathrm{am}-\mathrm{bl}}\right)+\frac{1}{\mathrm{k}}\left(\frac{\mathrm{an}-\mathrm{cl}}{\mathrm{bl}-\mathrm{am}}\right)=2 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{bn}-\mathrm{cm}\right)\left(\mathrm{bl}-\mathrm{am}\right)+\mathrm{h}\left(\mathrm{an}-\mathrm{cl}\right)\left(\mathrm{am}-\mathrm{bl}\right)}{\mathrm{hk}\left(\mathrm{am}-\mathrm{bl}\right)\left(\mathrm{bl}-\mathrm{am}\right)}=2 \\ \Rightarrow \mathrm{k}\left(\mathrm{bn}-\mathrm{cm}\right)\left(\mathrm{bl}-\mathrm{am}\right)+\mathrm{h}\left(\mathrm{an}-\mathrm{cl}\right)\left(\mathrm{am}-\mathrm{bl}\right)=2\mathrm{hk}\left(\mathrm{am}-\mathrm{bl}\right)\left(\mathrm{bl}-\mathrm{am}\right) \\ \mathrm{Replace} \mathrm{h}\to \mathrm{x} \mathrm{and} \mathrm{k}\to \mathrm{y} \mathrm{to} \mathrm{get} \mathrm{the} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{locus} \mathrm{of} \mathrm{circumcenter}. \\ \mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\left(\mathbf{bn}\mathbf{-}\mathbf{cm}\right)\left(\mathbf{bl}\mathbf{-}\mathbf{am}\right)\mathbf{+}\mathbf{x}\left(\mathbf{an}\mathbf{-}\mathbf{cl}\right)\left(\mathbf{am}\mathbf{-}\mathbf{bl}\right)\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{xy}\left(\mathbf{am}\mathbf{-}\mathbf{bl}\right)\left(\mathbf{bl}\mathbf{-}\mathbf{am}\right)\mathbf{ }\left[\mathbf{Answer}\right] \\ \mathrm{Replace} \mathrm{h} \end{gathered}$$

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