how to calculate number of onto ,not-onto ,many-one ,one-one function

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{Solution} \mathrm{of} \mathrm{such} \mathrm{questions} \mathrm{required} \mathrm{knowledge} \mathrm{of} \mathrm{a} \mathrm{chapter} \mathrm{of} \mathrm{Algebra} \\ \mathrm{which} \mathrm{is} \mathrm{Permutation} \mathrm{and} \mathrm{Combination}. \\ \mathrm{Without} \mathrm{knowledge} \mathrm{of} \mathrm{Permutation} \mathrm{and} \mathrm{Combination}, \mathrm{we} \mathrm{cannot} \mathrm{deal} \\ \mathrm{with} \mathrm{these} \mathrm{type} \mathrm{of} \mathrm{questions}. \\ \mathrm{e}.\mathrm{g}. \\ \mathbf{For}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{function}\mathbf{ }\mathbf{defined}\mathbf{ }\mathbf{from}\mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{ }\mathbf{to}\mathbf{ }\mathbf{B}\mathbf{ }\mathbf{such}\mathbf{ }\mathbf{that}\mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{ }\mathbf{has}\mathbf{ }\mathbf{\text{'}}\mathbf{n}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{different}\mathbf{ }\mathbf{elements}\mathbf{ }\mathbf{and}\mathbf{ }\mathbf{B}\mathbf{ }\mathbf{has}\mathbf{ } \\ \mathbf{\text{'}}\mathbf{r}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{different}\mathbf{ }\mathbf{elements}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{find}\mathbf{ }\mathbf{under}\mathbf{ }\mathbf{various}\mathbf{ }\mathbf{conditions}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ } \\ \left(\mathbf{i}\right)\mathbf{ }\mathbf{Total}\mathbf{ }\mathbf{number}\mathbf{ }\mathbf{of}\mathbf{ }\mathbf{onto}\mathbf{ }\mathbf{functions}\mathbf{ }\mathbf{possible}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \left(\mathbf{ii}\right)\mathbf{ }\mathbf{Total}\mathbf{ }\mathbf{number}\mathbf{ }\mathbf{of}\mathbf{ }\mathbf{into}\mathbf{ }\mathbf{functions}\mathbf{ }\mathbf{possible}\mathbf{.}\mathbf{ } \\ \left(\mathbf{iii}\right)\mathbf{Total}\mathbf{ }\mathbf{number}\mathbf{ }\mathbf{of}\mathbf{ }\mathbf{constant}\mathbf{ }\mathbf{functions}\mathbf{ }\mathbf{possible}\mathbf{.} \\ \mathrm{Sol}: \\ \mathrm{A}\mathrm{has}\mathrm{n}\mathrm{elements}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{has}\mathrm{r}\mathrm{elements}. \\ \mathrm{For}\mathrm{total}\mathrm{functions}\mathrm{each}\mathrm{element}\mathrm{in}\mathrm{n}\mathrm{has}\mathrm{r}\mathrm{options}. \\ \mathrm{Hence} \\ \mathrm{Total}\mathrm{functions}=\mathrm{r}\times \mathrm{r}\times \mathrm{r}\times .....\mathrm{ntimes}={\mathrm{r}}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{For}\mathrm{constant}\mathrm{function},\mathrm{each}\mathrm{value}\mathrm{in}\mathrm{A}\mathrm{should}\mathrm{map}\mathrm{to}\mathrm{same}\mathrm{value}\mathrm{in}\mathrm{B}, \\ \mathrm{hence} \\ \mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{constant}\mathrm{function}{=}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_1=\mathrm{r} \\ \mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{onto}\mathrm{functions}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{found}\mathrm{out}\mathrm{by}\mathrm{Inclusion}\mathrm{Exclusion}\mathrm{Principle}. \\ \mathrm{For}\mathrm{onto}\mathrm{functions},\mathrm{each}\mathrm{element}\mathrm{inn}\mathrm{B}\mathrm{must}\mathrm{have}\mathrm{pre}\mathrm{image}\mathrm{in}\mathrm{A},\mathrm{hence}\mathrm{using} \\ \mathrm{incluison}\mathrm{Exclusion}\mathrm{Principle},\mathrm{we}\mathrm{have} \\ \mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{onto}\mathrm{functions} \\ ={\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_1{\left(\mathrm{r}-1\right)}^{\mathrm{n}}{+}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_2{\left(\mathrm{r}-2\right)}^{\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_3{\left(\mathrm{r}-3\right)}^{\mathrm{n}}+.....+{\left(-1\right)}^{\mathrm{r}-1}{}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}{1}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{Total}\mathrm{Into}\mathrm{functions} \\ =\mathrm{Total}\mathrm{Functions}-\mathrm{Onto}\mathrm{functions} \\ ={\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}-\left\{{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_1{\left(\mathrm{r}-1\right)}^{\mathrm{n}}{+}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_2{\left(\mathrm{r}-2\right)}^{\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_3{\left(\mathrm{r}-3\right)}^{\mathrm{n}}+.....+{\left(-1\right)}^{\mathrm{r}-1}{}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}{1}^{\mathrm{n}}\right\} \\ {=}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_1{\left(\mathrm{r}-1\right)}^{\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_2{\left(\mathrm{r}-2\right)}^{\mathrm{n}}{+}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_3{\left(\mathrm{r}-3\right)}^{\mathrm{n}}-.....-{\left(-1\right)}^{\mathrm{r}-1}{}^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}1 \end{gathered}$$

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