If A is a matrix such that a 11= a 12 =a 13=1, a 21= 0 , a 22= 1, - Maths - Matrices

Question

If A is a matrix such that a 11= a 12 =a
13=1, a 21= 0 , a 22= 1, a
23= 1 ,a 31=0, a 32= 0 , a
33= 1 , then use the principle of mathematical induction
to show that
An is equal to a 11 = 1, a 12= n ,
a 13 = n(n+1)/2 , a 21 = 0 , a
22=1, a 23=n, a 31=0, a
32=0 , a 33=1 for every positive integers n

Manbar Singh · Accepted Answer

We have,A = 111011001When n = 1, by the definition of integral power of matrix, we haveA1 = A = 111011001 = 1111+12011001So, the result is true for n = 1
Let the result is tru for n = k
Now, Ak = 1kkk+1201k001 Now, we will show that the result is true for n = k+1Now, Ak+1 = Ak 
 A⇒ Ak+1 = 1kkk+1201k001 111011001⇒ Ak+1 = 1+0+01+k+01+k+kk+120+0+00+1+00+1+k0+0+00+0+00+0+1 = 1k+1k+1k+2201k+1001This shows that result is true for n=k+1; whenever it is true for n=k
Hence, by the principle of mathematical induction the result is true every positive integer n