If sin theta = ksin( theta + phi) then prove tan(theta + phi) = sinPhi/ cosphi - k

Hi Suroj
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{you} \mathrm{observe} \mathrm{we} \mathrm{don}\text{'}\mathrm{t} \mathrm{need} \mathrm{\theta } \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{final} \mathrm{prrof}. \\ \mathrm{Given} \mathrm{that}, \\ \mathrm{sin\theta }=\mathrm{ksin}\left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\varphi }\right) \\ \mathrm{using} \mathrm{identity} \sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\mathrm{sinA}.\mathrm{cosB}+\mathrm{cosA}.\mathrm{sinB}, \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \mathrm{sin\theta }=\mathrm{k}\left(\mathrm{sin\theta }.\mathrm{cos\varphi }+\mathrm{cos\theta }.\mathrm{sin\varphi }\right) \\ \mathrm{Dividing} \mathrm{each} \mathrm{term} \mathrm{by} \mathrm{sin\theta } \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ 1=\mathrm{kcos\varphi }+\mathrm{k}\frac{\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{sin\theta }}.\mathrm{sin\varphi } \\ \mathrm{we} \mathrm{know} \mathrm{that} \frac{\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{sin\theta }}=\frac{1}{\mathrm{tan\theta }} \\ 1=\mathrm{kcos\varphi }+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{tan\theta }}.\mathrm{sin\varphi } \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{tan\theta }}.\mathrm{sin\varphi }=1-\mathrm{kcos\varphi } \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{tan\theta }}=\frac{1-\mathrm{kcos\varphi }}{\mathrm{ksin\varphi }} \\ \Rightarrow \mathrm{tan\theta }=\frac{\mathrm{ksin\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }} \\ \mathrm{Now} \tan \left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\varphi }\right)=\frac{\mathrm{tan\theta }+\mathrm{tan\varphi }}{1-\mathrm{tan\theta }.\mathrm{tan\varphi }} \\ \mathrm{Putting} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{tan\theta }, \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ \tan \left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\varphi }\right)=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{ksin\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }}+\mathrm{tan\varphi }}}{1-\left({\displaystyle \frac{\mathrm{ksin\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }}}\right).\mathrm{tan\varphi }} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{ksin\varphi }+\mathrm{tan\varphi }-\mathrm{kcos\varphi }.\mathrm{tan\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }}}}{{\displaystyle \frac{1-\mathrm{kcos\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }.\mathrm{tan\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }}}} \\ =\frac{\mathrm{ksin\varphi }+\mathrm{tan\varphi }-\mathrm{kcos\varphi }.\mathrm{tan\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }.\mathrm{tan\varphi }} \\ =\frac{\mathrm{ksin\varphi }+\mathrm{tan\varphi }-\mathrm{kcos\varphi }.{\displaystyle \frac{\mathrm{sin\varphi }}{\mathrm{cos\varphi }}}}{1-\mathrm{kcos\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }.\mathrm{tan\varphi }} \\ =\frac{\mathrm{ksin\varphi }+\mathrm{tan\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }.\mathrm{tan\varphi }} \\ =\frac{\mathrm{tan\varphi }}{1-\mathrm{kcos\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }.\mathrm{tan\varphi }} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{sin\varphi }}{\mathrm{cos\varphi }}}}{1-\mathrm{kcos\varphi }-\mathrm{ksin\varphi }.{\displaystyle \frac{\mathrm{sin\varphi }}{\mathrm{cos\varphi }}}} \\ \mathrm{Multiplying} \mathrm{numerator} \mathrm{and} \mathrm{denominator} \mathrm{by} \mathrm{cos\varphi } \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ \tan \left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\varphi }\right)=\frac{\mathrm{sin\varphi }}{\mathrm{cos\varphi }.-{\mathrm{kcos}}^2\mathrm{\varphi }-{\mathrm{ksin}}^2\mathrm{\varphi }} \\ =\frac{\mathrm{sin\varphi }}{\mathrm{cos\varphi }.-\mathrm{k}\left({\cos }^2\mathrm{\varphi }+{\sin }^2\mathrm{\varphi }\right)} \\ \mathrm{As} {\cos }^2\mathrm{\varphi }+{\sin }^2\mathrm{\varphi }=1 \\ \mathbf{\Rightarrow }\mathbf{ }\mathbf{tan}\left(\mathbf{\theta }\mathbf{+}\mathbf{\varphi }\right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{sin\varphi }}{\mathbf{cos\varphi }\mathbf{.}\mathbf{-}\mathbf{k}}\mathbf{ }\left(\mathbf{Hence}\mathbf{ }\mathbf{proved}\right) \end{gathered}$$

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