If the points (2,0) , (3,2) , (5,4) , and (t,0) are con-cyclic , then find the value of t.

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{As} \mathrm{given} \mathrm{points} \mathrm{are} \mathrm{con}-\mathrm{cyclic} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 ;\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{As} \mathrm{given} \mathrm{points} \mathrm{are} \\ \mathrm{Put} \left(2,0\right) \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right) \\ \Rightarrow 4+0+4\mathrm{g}+0+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{c}=-4\mathrm{g}-4 ;\left(\mathrm{ii}\right) \\ \mathrm{Put} \left(3,2\right) \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right) \\ 9+4+6\mathrm{g}+4\mathrm{f}+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow 13+6\mathrm{g}+4\mathrm{f}+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow 13+6\mathrm{g}+4\mathrm{f}-4\mathrm{g}-4 =0 \left[\mathrm{Using} \left(\mathrm{ii}\right)\right] \\ \Rightarrow 2\mathrm{g}+4\mathrm{f}+9=0 \\ \Rightarrow 2\mathrm{g}=-4\mathrm{f}-9 ;\left(\mathrm{iii}\right) \\ \mathrm{Put} \left(5,4\right) \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right) \\ 25+16+10\mathrm{g}+8\mathrm{f}+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow 41+10\mathrm{g}+8\mathrm{f}-4\mathrm{g}-4=0 \left[\mathrm{Using} \left(\mathrm{ii}\right)\right] \\ \Rightarrow 6\mathrm{g}+8\mathrm{f}+37=0 \\ \Rightarrow 3\left(-4\mathrm{f}-9\right)+8\mathrm{f}+37=0 \left[\mathrm{Using} \left(\mathrm{iii}\right)\right] \\ \Rightarrow -12\mathrm{f}-27+8\mathrm{f}+37=0 \\ \Rightarrow -4\mathrm{f}+10=0 \\ \Rightarrow 4\mathrm{f}=10 \\ \Rightarrow 2\mathrm{f}=5 \\ \mathrm{Put} \mathrm{this} \mathrm{value} \mathrm{in} \left(\mathrm{iii}\right) \\ 2\mathrm{g}=-2\left(5\right)-9 \\ \Rightarrow 2\mathrm{g}=-19 \\ \mathrm{Put} \mathrm{this} \mathrm{value} \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{c}=-2\left(-19\right)-4 \\ \Rightarrow \mathrm{c}=34 \\ \mathrm{Putting} \mathrm{obtained} \mathrm{values} \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right), \mathrm{we} \mathrm{get}: \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-19\mathrm{x}+5\mathrm{y}+34=0 \\ \mathrm{Put} \left(\mathrm{t},0\right) \mathrm{in} \mathrm{above} \mathrm{equation}: \\ \Rightarrow {\mathrm{t}}^2+0-19\mathrm{x}+0+34=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{t}}^2-19\mathrm{x}+34=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{t}}^2-2\mathrm{x}-17\mathrm{x}+34=0 \\ \Rightarrow \mathrm{t}\left(\mathrm{t}-2\right)-17\left(\mathrm{t}-2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{t}-2\right)\left(\mathrm{t}-17\right)=0 \\ \mathbf{Hence}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{or}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{17} \end{gathered}$$

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