If X and Y are any 2 distinct integers, then prove by Mathematical Induction that X^n-Y^n is divisible by ( x-y), n belongs to N

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right): {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}} \mathrm{is} \mathrm{divisible} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) \mathrm{for} \mathrm{n}\in \mathrm{N} \\ \mathbf{Step}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{Base}\mathbf{ }\mathbf{Case} \\ \mathrm{For} \mathrm{n}=1 \\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^1-{\mathrm{y}}^1=\mathrm{x}-\mathrm{y} \mathrm{which} \mathrm{is} \mathrm{divisble} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) \\ \mathrm{Hence} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=1. \\ \mathbf{Step}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{inductive}\mathbf{ }\mathbf{hypothesis} \\ \mathrm{Let} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{be} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=\mathrm{k} \mathrm{i}.\mathrm{e}. \\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}} \mathrm{is} \mathrm{divisible} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) ;\mathrm{statement}\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathbf{Step}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{Inductive}\mathbf{ }\mathbf{step} \\ \mathrm{Consider} \\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}+1}={\mathrm{x}}^{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{y}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}+1} \\ =\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{y}\right)+\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}+1}\right) \\ =\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}.\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{y}\right)+\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}}.\mathrm{y}\right) \\ ={\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+\mathrm{y}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}}\right) \\ \mathrm{By} \mathrm{statement}\left(\mathrm{i}\right), \mathrm{we} \mathrm{have} {\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}} \mathrm{is} \mathrm{divisible} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) \\ \mathrm{Hence} {\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+\mathrm{y}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}}\right) \mathrm{will} \mathrm{be} \mathrm{divisible} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) \left[\mathrm{As} \mathrm{both} \mathrm{terms} \mathrm{are} \mathrm{divisible} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\right] \\ \mathrm{Hence} {\mathrm{x}}^{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{k}+1} \mathrm{is} \mathrm{divisible} \mathrm{by} \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right). \\ \mathrm{Hence} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=\mathrm{k}+1. \\ \mathrm{Thus}, \mathrm{P}\left(1\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{and} \mathrm{P}\left(\mathrm{k}+1\right) \mathrm{is} \mathrm{true}, \mathrm{whenever} \mathrm{P}\left(\mathrm{k}\right) \mathrm{is} \mathrm{true}. \\ \mathrm{Hence}, \mathrm{by} \mathrm{the} \mathrm{Principal} \mathrm{of} \mathrm{Mathematical} \mathrm{Induction}, \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{all} \mathrm{n} \in \mathrm{N}. \\ \mathbf{Hence}\mathbf{ }{\mathbf{x}}^{\mathbf{n}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{n}}\mathbf{ }\mathbf{is}\mathbf{ }\mathbf{divisible}\mathbf{ }\mathbf{by}\mathbf{ }\left(\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{y}\right)\mathbf{ }\mathbf{for}\mathbf{ }\mathbf{n}\mathbf{\in }\mathbf{N}\mathbf{ }\mathbf{is}\mathbf{ }\mathbf{always}\mathbf{ }\mathbf{true}\mathbf{.} \end{gathered}$$

Hope this information will clear your doubts about this topic.

If you have any doubts just ask here on the ask and answer forum and our experts will try to help you out as soon as possible.
Regards