In triangle ABC, AD is the bisector of angle BAC and I is its incentre .Prove that AI/ID=(AB+AC)/BC

Consider a traingle ABCin which AD is the bisector of BAC and I isits incentre.To prove: AIID=AB+ACBCWe will first prove that  if in ABC, AD is the bisector of BAC, then      BDDC=ABACDraw CEDA which meets BAproduced at EThe figure is shown below:



Proof of   BDDC=ABACSince DACE, it implies that    2=3    interior alternate angles    1=4    corresponding anglesSince AD is bisector of BACSo 1=2This further implies that,      3=4The sides opposite to equal angles are equal in length.So we have AE=ACNow in BCE, DACESo by basic proportionality theorem.    BDDC=ABAE     BDDC=ABAC   (since AE=AC proved above)Thus, it is proved that,    BDDC=ABACAdd 1 to both sides     BDDC+1=ABAC+1 BD+DCDC=AB+ACAC          BCDC=AB+ACAC        ACDC=AB+ACBC       .....ilocate the incentre Ion the figureHere I lies on AD because AI is also a bisector of BAC



Note that the triangles ICA and ICD are similar.The property of similar triangles says that its sides are proportional.This implies that,   ACDC=AIID   .....iiFrom i  and ii, it is proved that,    AIID=AB+ACBC 

 

  • -11
What are you looking for?