# Integrate tan(x-a).tan(x+a).tan 2x

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$2\mathrm{x}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)+\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)=\mathrm{tan}\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)+\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\right\}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)+\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{1-\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right).\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)-\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right).\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)=\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)+\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\overline{)\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right).\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)=\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{Hence}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\int \mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right).\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right).\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right).\mathrm{dx}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}=\int \left\{\mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\right\}.\mathrm{dx}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}=\int \mathrm{tan}\left(2\mathrm{x}\right).\mathrm{dx}-\int \mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right).\mathrm{dx}-\int \mathrm{tan}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right).\mathrm{dx}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left|\mathrm{sec}2\mathrm{x}\right|-\mathrm{ln}\left|\mathrm{sec}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\right|-\mathrm{ln}\left|\mathrm{sec}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\right|+\mathrm{C}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$

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