n(n+1)(n+2) is a multiple of 6

Let pn: nn+1n+2 is a multiple of 6.For n = 1, p1 = 11+11+2 = 6 , which is a multiple of 6.So, p1 is true.Let pk be true.Then,pk : kk+1k+2 is a multiple of 6.kk+1k+2 = 6m for some natural number m.Now, we have to prove, pk+1 is true whenever pk is true.We have,pk+1 : k+1k+2k+3now,k+1k+2k+3 = k+3k+1k+2                                 = kk+1k+2 + 3k+1k+2                                 = 6m + 3k+1k+2now, k+1 and  k+2 are consecutive integers, so their product is even.then, k+1 k+2= 2q evenk+1k+2k+3 = 6m + 3 2q = 6m + q, which is a multiple of 6.pk+1 : k+1k+2k+3 is a multiple of 6. pk+1 is true whenever pk is true.Thus, p1 is true and  pk+1 is true, whenever  pk is true.Hence by the principal of mathematical induction, pn is true for all n N.

  • 5
What are you looking for?