Login

One side of a square makes an angle alpha with x-axis and one vertex of the square is at the origin, prove that equations of its diagonals are y(cos alpha - sin alpha) = x(sin alpha - cos alpha) and y(sin alpha + cos alpha) + x(cos alpha - sin alpha) = a



Let OABC is a square whose one vertex at origin O (0, 0). OB and AC are the diagonals of the square OABCNow, OA = AB = BC = CO = a  Sides of square are equal∠AOC = 90°   Each angle of square is 90°∴ ∠AOB = 90°2 = 45° = π4   as,  diagonal bisects the opposite anglesNow, ∠BOX = π4 + αHence,  slope of OB = m = tan π4 + αAlso,  OB passes through O (0, 0)the equation of OB is written as     y - y1 = m x - x1⇒ y - 0 = tan π4 + α x - 0⇒ y = sin π4 + αcos π4 + α . x⇒ y cos  π4 + α = x sin  π4 + α⇒ y  cos π4 cos α - sin π4 sin α = x sin π4 cos α + cos π4 sin α

⇒ y 12 . cos α - 12 . sin α = x 12 . cos α + 12 . sin α⇒ 12 y cos α - sin α = 12 x cos α + sin α⇒ y cos α - sin α = x  cos α + sin αNow, diagonal AC is perpendicular to the diagonal OB then, slope of AC = m' = -1slope of OB = -1tan π4 + α = - cot π4 + αNow draw AP perpendicular to the x - axis

In ∆APO, cos α = OPOA⇒cos α = ma⇒m = a cos α   sin α = APOA⇒sin α = APOA = na⇒n = a sin α

So, coordinates of A are Aa cos α, a sin α.So, AC passes through A and having slope m'.The equation of AC is given by,y - y1 = m'x - x1⇒y - a sin α = - cotπ/4 + α x -a cos α⇒y - a sin α =-cosπ/4 + αsin π/4 + αx -a cos α⇒y - a sin α =- cosπ/4 . cos α - sin π/4 . sin αsinπ/4 . cos α +cos π/4 . sin αx -a cos α⇒y - a sin α = -12 cos α - 12sin α12 cos α + 12sin αx -a cos α⇒y - a sin α = -cos α - sin αcos α + sin αx -a cos α⇒y - a sin αcos α + sin α = -cos α - sin αx -a cos α⇒ycos α+ysin α-a sin α.cos α-asin2α=-xcos α-xsin α-a cos2α+a sin α.cos α⇒ycos α + sin α = -xcos α - sin α + acos2α + sin2α⇒ycos α + sin α +xcos α - sin α = aSo, the equation of the diagonals are :ycos α - sin α =xcos α + sin αand ycos α + sin α +xcos α - sin α = a

  • 63
View Full Answer
What are you looking for?