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Dear student,
Here is the solution of your asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{Since} \mathrm{a},\mathrm{b} \mathrm{and} 3\mathrm{c} \mathrm{are} \mathrm{in} \mathrm{A}.\mathrm{P}. \mathrm{so} \mathrm{we} \mathrm{have}; \\ \mathrm{b}-\mathrm{a}=3\mathrm{c}-\mathrm{b} \\ \Rightarrow 2\mathrm{b}=\mathrm{a}+3\mathrm{c} ...\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{Also}, \mathrm{a},\mathrm{b} \mathrm{and} 4\mathrm{c} \mathrm{are} \mathrm{in} \mathrm{G}.\mathrm{P}. \mathrm{so} \mathrm{we} \mathrm{have}; \\ \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{4\mathrm{c}}{\mathrm{b}} \\ \Rightarrow {\mathrm{b}}^2=4\mathrm{ac} \\ \Rightarrow \mathrm{c}=\frac{{\mathrm{b}}^2}{4\mathrm{a}} ...\left(\mathrm{ii}\right) \\ \mathrm{substituting} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{c} \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right) \mathrm{we} \mathrm{get}; \\ 2\mathrm{b}=\mathrm{a}+3\times \frac{{\mathrm{b}}^2}{4\mathrm{a}} \\ \Rightarrow 8\mathrm{ab}=4{\mathrm{a}}^2+3{\mathrm{b}}^2 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{a}}^2-8\mathrm{ab}+3{\mathrm{b}}^2=0 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}-6\mathrm{ab}+3{\mathrm{b}}^2=0 \\ \Rightarrow 2\mathrm{a}\left(2\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)-3\mathrm{b}\left(2\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(2\mathrm{a}-3\mathrm{b}\right)=0 \mathrm{and} 2\mathrm{a}-\mathrm{b}=0 \\ \Rightarrow 2\mathrm{a}=3\mathrm{b} \mathrm{and} 2\mathrm{a}=\mathrm{b} \\ \mathrm{So} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{3}{2} \mathrm{or} \frac{1}{2} \end{gathered}$$
Regards