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Example 29. The domain of the function. 

f x = sin - 1 sin   x - cos - 1 cos   x   i n   0 , 2 π   i s .                         a   0 , π 2 3 π 2 , 2 π           b   π ,   2 π           c   0 , π π 2                                   d   0 ,   2 π - π 2 ,   3 π 2

fx=sin-1sin x-cos-1cos xCase 1: x0,π2 In interval 0,π2, sin-1sin x=x and cos-1cos x=x fx=x-xSince x0, so x=xfx=x-x=0Therefore 0,π2 is in domain of fxCase 2: x(π2,π] In interval (π2,π], sin-1sin x=sin-1sin π-x=π-x and cos-1cos x=x fx=π-x-xSince x(π2,π], so π-x0, therefore π-x=π-xfx=π-x-x=π-2xquantity inside square root should be non negativeπ-2x02xπxπ2But x(π2,π]Therefore no solution existsTherefore (π2,π] is not in domain of fxCase 3: xπ,3π2In interval π,3π2, sin-1sin x=sin-1sin π-x=π-x and cos-1cos x=cos-1cos 2π-x=2π-x fx=π-x-2π-xSince xπ,3π2, so π-x<0, therefore π-x=-π-x fx=-π-x-2π-x =-π+x-2π+x=-3π+2xquantity inside square root should be non negative-3π+2x02x3πx3π2But x(π,3π2)Therefore no solution existsTherefore π,3π2 is not in domain of fxCase 4: x3π2,2πIn interval 3π2,2π, sin-1sin x=sin-1-sin 2π-x=sin-1sin x-2π=x-2π  and cos-1cos x=cos-1cos 2π-x=2π-x fx=x-2π -2π-xSince x3π2,2π, so x-2π<0, therefore x-2π=-x-2π fx=-x-2π-2π-x =-x+2π-2π+x=0Therefore 3π2,2π is in domain of fxHenceDomain=0,π23π2,2π

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