Prove by PMI that 3 + 33 + 333 + 3333 +...+ 33..n times..3 = 1/27( 10n+1 - 9n - 10)

Dear student
Let P(n) be the given statementNow,P(n): 3+33+333+...+333..n digits..3=12710n+1-9n-10Step I: P(1)=3=127102-9-10=127×81Thus, P(1) is true.Step II:Let P(m) be true.Then,3+33+333+...+333..m digits..3=12710m+1-9m-10We need to show that P(m+1) is true whenever P(m) is true.Now, P(m+1)=3+33+333+...+333..(m+1)digits...3This is a geometric progression with n=m+1.Sum P(m+1):=139+99+999+...(m+1)term=1310-1+100-1+..(m+1)term=1310+100+1000+...(m+1)term - 1+1+1...(m+1)times...+1=131010m+1-19-m+1=12710m+2-9m-19Thus, P(m+1) is true.By the principle of mathimatical induction, P(n) is true for all nN.Regards

  • 5
What are you looking for?