prove that 1x2 + 2x2^2 + 3x2^3+..+nx2^n = (n-1)x2^n+1 +2

Let Pn be the given statement.Then Pn : 1 ×2 + 2 × 22 + .....+ n × 2n = n-1.2n+1 + 2Put n = 1, in the above statement, we getLHS = 1 × 21 = 2RHS = 1-1.22 + 2 = 2so, LHS = RHSThus, P1 is true.Let Pk be true.Then,Pk:  1 ×2 + 2 × 22 + .....+ k × 2k = k-1.2k+1 + 2 Now,1 ×2 + 2 × 22 + .....+ k × 2k + k+1×2k+1=k-1.2k+1 + 2 + k+1×2k+1=k-1.2k+1 + k+1×2k+1 + 2=2k+1k-1+k+1 + 2=2k+1 . 2k + 2=k . 2k+2 + 2=k+1 - 1 . 2k+1 + 1 + 2So, Pk+1 is true, whenever Pk is true.Thus, P1 and Pk+1 is true, whenever Pk is true.Hence by PMI , Pn is true for all n N.

  • -2
What are you looking for?