prove 3x+6x+9x+ +to n terms= 3/2n(n+1)x by PRINCIPLE OF MATHEMATICAL INDUCTION

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right):3\mathrm{x}+6\mathrm{x}+9\mathrm{x}+....+3\mathrm{nx}=\frac{3}{2}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)\mathrm{x} \left[{\mathrm{n}}_{\mathrm{th}} \mathrm{term} \mathrm{will} {\mathrm{n}}_{\mathrm{th}} \mathrm{multiple} \mathrm{of} 3\right] \\ \mathbf{Step}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{Base}\mathbf{ }\mathbf{Case} \\ \mathrm{For} \mathrm{n}=1, \mathrm{we} \mathrm{have} \\ 3\mathrm{x}=\frac{3}{2}\left(1+1\right)\mathrm{x} \\ \Rightarrow 3\mathrm{x}=3\mathrm{x} \\ \mathrm{Hence} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=1 \\ \mathbf{Step}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{Inductive}\mathbf{ }\mathbf{hypothesis} \\ \mathrm{Let} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{be} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=\mathrm{k} \mathrm{i}.\mathrm{e}. \\ 3\mathrm{x}+6\mathrm{x}+9\mathrm{x}+....+3\mathrm{kx}=\frac{3}{2}\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{x} ;\mathrm{equation}\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathbf{Step}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{Inductive}\mathbf{ }\mathbf{Case} \\ \mathrm{Consider} \\ 3\mathrm{x}+6\mathrm{x}+9\mathrm{x}+....+3\mathrm{kx}+3\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{x} \\ =\frac{3}{2}\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{x}+3\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{x} \left[\mathrm{Using} \left(\mathrm{i}\right)\right] \\ =3\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{x}.\left(\frac{\mathrm{k}}{2}+1\right) \\ =3\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{x}.\left(\frac{\mathrm{k}+2}{2}\right) \\ =\frac{3}{2}\left(\mathrm{k}+1\right)\left\{\left(\mathrm{k}+1\right)+1\right\}\mathrm{x} \\ \mathrm{Hence} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=\mathrm{k}+1. \\ \mathrm{Since} \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{n}=1 \mathrm{and} \mathrm{when} \mathrm{P}\left(\mathrm{k}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{then} \mathrm{P}\left(\mathrm{k}+1\right) \mathrm{is} \mathrm{also} \mathrm{true}, \mathrm{hence} \\ \mathrm{by} \mathrm{principle} \mathrm{of} \mathrm{mathematical} \mathrm{induction}, \mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \mathrm{is} \mathrm{true} \mathrm{for} \mathrm{all} \mathrm{n}\in \mathrm{N} \end{gathered}$$

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