Q $$\begin{gathered} \frac{1}{a+w}+\frac{1}{b+w}+\frac{1}{c+w}=\frac{2}{w} \\ \frac{1}{a+w^2}+\frac{1}{b+w^2}+\frac{1}{c+w^2}=\frac{2}{w^2} \\ \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=? \end{gathered}$$

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have} \\ \frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{\omega }}+\frac{1}{\mathrm{b}+\mathrm{\omega }}+\frac{1}{\mathrm{c}+\mathrm{\omega }}=\frac{2}{\mathrm{\omega }} \\ \frac{1}{\mathrm{a}+{\mathrm{\omega }}^2}+\frac{1}{\mathrm{b}+{\mathrm{\omega }}^2}+\frac{1}{\mathrm{c}+{\mathrm{\omega }}^2}=\frac{2}{{\mathrm{\omega }}^2} \\ \mathrm{Hence} \mathrm{\omega },{\mathrm{\omega }}^2 \mathrm{are} \mathrm{roots} \mathrm{of} \\ \frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{b}+\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{c}+\mathrm{x}}=\frac{2}{\mathrm{x}}...\left(\mathrm{i}\right) \\ \Rightarrow \frac{\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)}=\frac{2}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)=2\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)-2\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{x}\right)=0 \\ \mathrm{Now} \mathrm{above} \mathrm{is} \mathrm{cubic} \mathrm{equation}, \mathrm{let} \mathrm{third} \mathrm{root} \mathrm{be} \mathrm{\alpha }. \\ \mathrm{Collect} \mathrm{coefficent} \mathrm{of} {\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{Coefficient} \mathrm{of} {\mathrm{x}}^2=2\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)-2\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=0 \\ \mathrm{Hence} \mathrm{sum} \mathrm{of} \mathrm{roots}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{\alpha }+\mathrm{\omega }+{\mathrm{\omega }}^2=0 \\ \Rightarrow \mathrm{\alpha }-1=0 \left(\mathrm{As} 1+\mathrm{\omega }+{\mathrm{\omega }}^2=0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{\alpha }=1 \mathrm{which} \mathrm{will} \mathrm{satisfy} \left(\mathrm{i}\right) \\ \frac{1}{\mathrm{a}+1}+\frac{1}{\mathrm{b}+1}+\frac{1}{\mathrm{c}+1}=2 \end{gathered}$$

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