Q no 32. A long straight wire of circular cross-section is made of a non-magnetic material. The radius of cross-section of the wire is a. The wire carries a current I which is uniformly distributed over its cross-section. The energy stored per unit length in the magnetic field contained within the wire is
(a) μ o I 2 8 π
(b) μ o I 2 16 π
(c) μ o I 2 4 π
(d) μ o I 2 2 π


Dear Student ,
 A section of wire is shown in figure ,  We use a standard right handed coordinate system (r,ϕ,z).Since the current is entirely axial , the Boit-Savart law implies that Bz=0 every where  


Symmetry consideration requirthat the r and ϕ components of B depend only upon r : B =Br(r)r ^+Bϕ(r)ϕ^.Now we apply Gauss'law for magnetic fields to the coaxial cylindrical surface S , which has length l and radius r 0 = SB.da=Br(r)2πrlHence Br(r) = 0 , so B is purely azimuthal .Amper's law to coaxial circular path C, we obtain cB.dI=2πrBϕ(r) =μoi(r) .....(1)Here i(r) is the current passing through the surface enclosed by C.
Since the current density is uniform , we have i(r)i=πr2πa2i(r) =r2ia2......(2)Equation (1) and (2) imply that Bϕ(r)=μoir(2πa2).Now we must integratee the magnetic energy density over the volume of the wire . The magnetic energy dUm contained in the sylindrical shell of length l , ineer radius r and outer radius r+dr is 
 dUm=mUV=Bϕ2(r)2μo2πrldr        = μoi2l4πa4r3dr.Hence the magnetic energy per unit length contained in the wire is Uml=1ldUm=μoi24πa40ar3dr=μor24πa4r44oa        =μoi216π
so option (B) is correct 
Regards

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