Question no 10 please!

Question no 10 please! 10. (d) Number of complex numbers z satisfying z3 -i is = 2 , then the maximum value of Izl is equalt

Dear Student,

Let z=x+iy where x, y both are non zero real numbers.Then z3=z  implies that     x+iy3=x-iy     .....1This further implies that,     x3+iy3+3x2 iy+3xiy2=x-iy  x3+i3y3+3x2 y i+3xi2y2=x-iy  x3-y3i+3x2 y i-3xy2=x-iy  x3-3xy2+i-y3+3x2 y=x-iyComparing real and imaginary parts on both sides, we get   x3-3xy2=x    and -y3+3x2 y=-y x2-3y2=1    and  -3x2+y2 =1     Since x and y both are non zeroMultiplyin first equation with 3 and second equation with 1 and adding theresulting equations to get,    3x2-9y2+-3x2 +y2=3+1-8y2=2y2=-14The value of y comes out to be imaginary.So, we don not get any solutions from the above equation.However it can be noted that x,y=1,0  and x,y=0,1  satisfies the equation 1.At the point 1,0, we have  LHS=1+i03=1  RHS=1-i0=1At the point 0,1, we have  LHS=0+i13=i3=-i  RHS=0-i1=-i  Thus, we have two complex numbers satisfying the condition z3=z .

Regards

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