Show that each of the following systems of linear equations is consistent and also find their solutions: (i) 6x + - Maths -

Question

Show that each of the following systems of linear equations is
consistent and also find their solutions:
(i) 6x + 4y = 2
9x + 6y = 3

(ii) 2x + 3y = 5
6x + 9y = 15

(iii) 5x + 3y + 7z = 4
3x + 26y + 2z = 9
7x + 2y + 10z = 5

(iv) x − y + z = 3
2x + y − z = 2
−x −2y + 2z = 1

(v) x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 4y + 7z = 30

(vi) 2x + 2y − 2z = 1
4x + 4y − z = 2
6x + 6y + 2z = 3

Global Expert · Accepted Answer

(i) Here,6x+4y=2       
(1) 9x+6y=3       
(2)AX=B Here,A=6496, X=xy and B=236496xy=23 A =6496       =36-36       =0So, A is singular
 Thus, the given system of equations is either inconsistent or it is consistent with infinitely many solutions because adj AB≠0 or adj A=0
Let Cij be the co factors of the elements aij in Aaij
 Then,C11=6, C12=-9, C21=-4, C22=6adj A=6-9-46T         = 6-4-96adj AB=  6-4-9623               =12-12-18+18               =00If A=0 and adj AB=0, then the system is consistent and has infinitely many solutions
Thus, AX=B has infinitely many solutions
 Substituting y=k in the eq
 (1), we get6x+4k=2⇒6x=2-4k⇒x=2-4k6⇒x=1-2k3∴ x=1-2k3 and y=kThese values of x and y satisfy the third equation
Thus, x=1-2k3 and y=k where k is a real number satisfy the given system of equations

(ii) Here,2x+3y=5         
(1) 6x+9y=15       
(2) or , AX=B  where,A=2369, X=xy and B=515⇒2369xy=515∴ A  =2369            =18-18            =0So, A is singular
 Thus, the given system of equations is either inconsistent or it is consistent with infinitely many solutions because adj AB≠0 or adj A=0
Let Cij be the co-factors of the elements aij in Aaij
 Then,C11=9, C12=-6, C21=-3 and C22=2∴adj A=9-6-32T              = 2-3-69⇒adjAB=  9-3-62515                   =45-45-30+30                   =00IfA=0 and adjAB=0, then the system is consistent and has infinitely many solutions
Thus, AX=B has infinitely many solutions
 Substituting y=k in eq
 (1), we get2x+3k=5⇒2x=5-3k⇒x=5-3k2 and y=kThese values of x and y satisfy the third equation
Thus, x=5-3k2 and y=k where k is a real number satisfy the given system of equations

(iii) Here,5x+3y+7z=4        
(1) 3x+26y+2z=9       
(2)7x+2y+10z=5       
(3)or ,AX=B where, A=53732627210, X=xyz and B=49553732627210xyz=495 A =53732627210     =5260-4-330-14+7(6-182)     =1280-48-1232     =0So, A is singular
 Thus,the given system of equations is either inconsistent or it is consistent with infinitely many solutions because adj AB≠0 or adj AB=0
 Let Cij be the co-factors of the elements aij in Aaij
 Then,C11=-11+1262210 =256 ,              C12=-11+232710 =-16,              C13=-11+332672=-176C21=-12+137210  =-16 ,             C22=-12+2 57710  =1,                C23=-12+35372 =11C31=-13+137262 =-176,             C32=-13+25732   =11,                   C33=-13+353326=121adj A=256-16-176-16111-17611121T        = 256-16-176-16111-17611121adj AB=256-16-176-16111-17611121495            =1024-144-880-64+9+55-704+99+605            =000if A=0 and adjAB=0, then the system is consistent and has infinitely many solutions
Thus, AX= B has infinitely many solutions
 Substituting z=k in eq
 (1) and eq
 (2), we get5x+3y=4-7k and 3x+26y=9-2k53326xy=4-7k9-2kNow,A=53326   =130-9    =121≠ 0adj A=26-3-35⇒A-1=1Aadj A            =112126-3-35∴X=A-1B⇒xy=112126-3-354-7k9-2k⇒xy=1121104-182k-27+6k-12+21k+45-10k⇒xy=77-176k12133+11k121⇒x=117-16k121, y=113+k121 and z=k∴ x= 7-16k11, y= 3+k11and z=kThese values of x, y and z also satisfy the third equation
Thus, x= 7-16k11, y= 3+k11 and z=k where k is a real number satisfy the given system of equations

(iv) Here,x-y+z=3           
(1)2x+y-z=2          
(2)-x-2y+2z=1          
(3)or,AX=Bwhere, A=1-1121-1-1-22, X=xyz and B=3211-1121-1-1-22xyz=321 A =1-1121-1-1-22      =12-2+14-1+1(-4+1)      =0+3-3      =0So, A is singular
 Thus, the given system of equations is either inconsistent or it is consistent with infinitely many solutions because adj AB≠0 or adj AB=0
Let Cij be the co-factors of the elements aij in Aaij
 Then,C11=-11+11-1-22 =0,             C12=-11+22-1-12  =-3,               C13=-11+321-1-2=-3C21=-12+1-11-22  =0,               C22=-12+2 11-12  =3,                    C23=-12+31-1-1-2=3C31=-13+1-111-1 =0,             C32=-13+2112-1  =3 ,                     C33=-13+31-121=3adj A=0-3-3033033T        = 000-333-333adj AB= 000-333-333321             =0-9+6+3-9+6+3            =000If A=0 and adj AB=0, then the system is consistent and has infinitely many solutions
Thus, AX=B has infinitely many solutions
 Substituting z=k in eq
 1 and eq
 2, we getx-y=3-k and 2x+y=2+k1-121xy=3-k2+kNow,A=1-121     =1+2=3 ≠ 0adj A=12-11⇒A-1=1Aadj A           =1311-21∴X=A-1B⇒xy=1311-213-k2+k⇒xy=133-k+2+k-6+2k+2+k⇒xy=533k-43∴ x=53, y=3k-43 and z=kThese values of x, y and z also satisfy the third equation
Thus, x= 53, y= 3k-43and z=k where k is a real number satisfy the given system of equations

(v) Here,x+y+z=6        
(1)x+2y+3z=14       
(2)x+4y+7z=30          
(3)or, AX=B where, A=111123147, X=xyz and B=61430111123147xyz=61430 A =111123147     =114-12-17-3+1(4-2)     =2-4+2     =0So, A is singular
 Thus, the given system of equations is either inconsistent or it is consistent with infinitely many solutions because adj AB≠0 or adj A=0
Let Cij be the co-factors of the elements aij in Aaij
 Then,C11=-11+12347 =2,           C12=-11+21317  =-4 ,              C13=-11+31214=2C21=-12+11147  =-3,        C22=-12+2 1117  =6,                  C23=-12+31114=-3C31=-13+11123 =1 ,            C32=-13+21113   =-2 ,              C33=-13+31112=1adj A=2-42-36-31-21T      = 2-31-46-22-31adj AB=  2-31-46-22-3161430             =12-42+30-24+84-6012-42+30            =000IfA=0 and adjAB=0, then the system is consistent and has infinitely many solutions
Thus, AX=B has infinitely many solutions
 Substituting z=k in eq
 (1) and eq
 (2), we get x+y=6-k and x+2y=14-3k1112xy=6-k14+3kNow,A=1112    =2-1=1 ≠ 0adj A=2-1-11⇒A-1=1Aadj A            =112-1-11∴X=A-1B⇒xy=112-1-116-k14-3k⇒xy=1112-2k-14+3k-6+k+14-3k⇒xy=k-218-2k1∴ x=k-2, y=8-2k and z=kThese values of x, y and z also satisfy the third equation
Thus,  x=k-2, y=8-2k and z=k where k is a real number satisfy the given system of equations

(vi) Here,2x+2y-2z=1     
(1) 4x+4y-z=2      
(2) 6x+6y+2z=3    
(3) or, AX=Bwhere,A=22-244-1662, X=xyz and B=12322-244-1662xyz=123 A =22-244-1662      =28+6-28+6-2(24-24)      =28-28-0      =0So, A is singular
 Thus, the system of equations is either inconsistent or it is consistent withinfinitely many solutions because adj AB≠0 or adj AB=0
Let Cij be the co-factors of the elements aij in Aaij
 Then,C11=-11+14-162 =14,             C12=-11+24-162  =-14,              C13=-11+34466=0C21=-12+12-262  =-16,        C22=-12+2 2-262  =16,                C23=-12+32266=0C31=-13+12-24-1 =6,               C32=-13+22-24-1   =-6,               C33=-13+32244=0adj A=14-140-161606-60T        = 14-166-1416-6000adj AB=  14-166-1416-6000123            =14-32+18-14+32-180            =000IfA=0 and adjAB=0, then the system is consistent and has infinitely many solutions
Thus, AX=B has infinitely many solutions
 Substituting y=k in eq
 (1) and eq
 (2), we get 2x-2z=1-2k and 4x-z=2-4k2-24-1xz=1-2k2-4kNow,A=2-24-1    =-2+8=6≠ 0adj A=-12-42⇒A-1=1Aadj A=16-12-42∴X=A-1B⇒xz=16-12-421-2k2-4k⇒xz=16-1+2k+4-8k-4+8k+4-8k⇒xz=3-6k60∴ x=1-2k2, y=k and z=0  These values of x, y and z satisfy the third equation
Thus, x=1-2k2, y=k and z=0 where k is real number satisfy the given system of equations