solve the trigonometric equation  for x :
 sinx  - 2sin2x + sin3x = cosx - 2cos2x  +  cos3x

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \sin \mathrm{x}-2\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}=\cos \mathrm{x}-2\cos 2\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x} \\ \sin \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)-2\sin \left(2\mathrm{x}\right)+\sin \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)=\cos \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)-2\cos 2\mathrm{x}+\cos \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right) ....\left(1\right) \\ \mathrm{evaluating} \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S} \\ \sin \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)=\sin 2\mathrm{x} \mathrm{cosx}-\cos 2\mathrm{x} \mathrm{sinx} \\ \sin \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)=\sin 2\mathrm{x} \mathrm{cosx}+\cos 2\mathrm{x}.\mathrm{sinx} \\ \sin \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)+\sin \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)=2 \sin 2\mathrm{x} \mathrm{cosx} \\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}= 2\sin 2\mathrm{x} \cos \mathrm{x}-2\sin 2\mathrm{x} \\ \mathrm{evaluating} \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S} \\ \cos \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)-2\cos 2\mathrm{x}+\cos \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right) \\ \cos \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)=\cos 2\mathrm{x}.\cos \mathrm{x}+\sin 2\mathrm{x}.\sin \mathrm{x} \\ \cos \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)=\cos 2\mathrm{x}.\cos \mathrm{x}-\sin 2\mathrm{x}.\sin \mathrm{x} \\ \cos \left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)+\cos \left(2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)=2\cos 2\mathrm{x}.\mathrm{cosx} \\ \mathrm{Hence} \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S} = 2\cos 2\mathrm{x}.\cos \mathrm{x}-2 \cos 2\mathrm{x} \\ \mathrm{now}, \mathrm{from} \left(1\right), \mathrm{we} \mathrm{get} \\ 2\sin 2\mathrm{x} \cos \mathrm{x}-2\sin 2\mathrm{x}=2\cos 2\mathrm{x}. \cos \mathrm{x}-2\cos 2\mathrm{x} \\ \Rightarrow 2\sin 2\mathrm{x} \left(\mathrm{cosx}-1\right)=2\cos 2\mathrm{x} \left(\mathrm{cosx}-1\right) \\ \Rightarrow \left(\mathrm{cosx}-1\right)\left(2\sin 2\mathrm{x}-2\cos 2\mathrm{x}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{cosx}=1 , \sin 2\mathrm{x}=\cos 2\mathrm{x} \\ \Rightarrow \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{n\pi }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{or}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{tan}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1} \\ \mathbf{ }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{n\pi }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{or}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{n\pi }\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{n\pi }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{or}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n\pi }}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{8}} \end{gathered}$$

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