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Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{\mathrm{x}+6}{3}}\left({\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}\right)>0 \\ \mathrm{Case} \left(\mathrm{i}\right) 0<\frac{\mathrm{x}+6}{3}<1 \mathrm{i}.\mathrm{e}. \log \mathrm{is} \mathrm{decreasing} \\ \Rightarrow 0<\mathrm{x}+6<3 \\ \Rightarrow -6<\mathrm{x}<-3 \\ {\log }_{\frac{\mathrm{x}+6}{3}}\left({\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}\right)>0 \\ \Rightarrow {\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}<{\left(\frac{\mathrm{x}+6}{3}\right)}^0 \\ \Rightarrow {\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}<1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}<2^1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}-2<0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1-2\mathrm{x}-4}{\mathrm{x}+2}<0 \\ \Rightarrow \frac{-\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}+2}<0 \\ \mathrm{Multiply} \mathrm{both} \mathrm{sides} \mathrm{by} -1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}+2}>0 \\ -\infty +++++ \left(-5\right) ---- \left(-2\right)+++++ \infty \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left(-\infty ,-5\right)\cup \left(-2,\infty \right) \\ \mathrm{Take} \mathrm{intersection} \mathrm{with} -6<\mathrm{x}<-3 \\ \mathrm{we} \mathrm{get} \mathrm{x}\in \left(-6,-5\right) \\ \mathrm{Case} \left(\mathrm{ii}\right) \frac{\mathrm{x}+6}{3}>1 \mathrm{i}.\mathrm{e} \log \mathrm{is} \mathrm{increasing} \\ \Rightarrow \mathrm{x}+6>3 \\ \Rightarrow \mathrm{x}>-3 \\ {\log }_{\frac{\mathrm{x}+6}{3}}\left({\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}\right)>0 \\ \Rightarrow {\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}> {\left(\frac{\mathrm{x}+6}{3}\right)}^0 \\ \Rightarrow {\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>2^1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}-2>0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1-2\mathrm{x}-4}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{-\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}+2}<0 \\ -\infty +++++ \left(-5\right) ---- \left(-2\right)+++++ \infty \\ \Rightarrow \mathrm{x}\in \left(-5,-2\right) \\ \mathrm{Take} \mathrm{intersection} \mathrm{with} \mathrm{x}>-3 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\in \left(-3,-2\right) \\ \mathrm{Take} \mathrm{union} \mathrm{of} \mathrm{both} \mathrm{cases} \\ \mathbf{x}\mathbf{\in }\left(\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\right)\mathbf{\cup }\left(\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\right) \\ \mathrm{Also} \\ \mathrm{Base} \mathrm{of} \log \mathrm{must} \mathrm{not} \mathrm{be} 1 \\ \frac{\mathrm{x}+6}{3}\ne 1 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\ne -3 \\ \mathrm{Quantity} \mathrm{inside} \log \mathrm{should} \mathrm{be} \mathrm{positive} \\ {\log }_{\frac{\mathrm{x}+6}{3}}\left({\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}\right) \\ \Rightarrow {\log }_2\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>2^0 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>1 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}-1>0 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}>0 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{-3}{\mathrm{x}+2}>0 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}+2}<0 \mathrm{and} \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}>0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\in \left(-\infty ,-2\right) \mathrm{and} \mathrm{x}\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(1,\infty \right) \\ \mathrm{Take} \mathrm{intersection} \\ \mathrm{x}\in \left(-\infty ,-2\right) \\ \mathrm{Finallly} \mathrm{take} \mathrm{intersection} \mathrm{of} \mathrm{x}\in \left(-\infty ,-2\right) \mathrm{and} \mathrm{x}\in \left(-6,-5\right)\cup \left(-3,-2\right) \\ \mathrm{We} \mathrm{get} \\ \mathbf{x}\mathbf{\in }\left(\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\right)\mathbf{\cup }\left(\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\right)\mathbf{ }\left[\mathbf{Answer}\right] \end{gathered}$$

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