using pmi prove that 6^n+2+7^2n+1 is divisible by 43 - Maths - Principle of Mathematical Induction

Question

using pmi prove that 6^n+2+7^2n+1 is divisible by 43

Garima Singhal · Accepted Answer

Let P(n) : 6n+2 + 72n+1 is divisible by 43
Put n = 1, we get61+2 + 72+1  = 216 + 343 = 559, which is divisible by 43
 Thus, it is true for n = 1So, P1 is true
Let Pk be also true
P(k)= 6k+2 + 72k+1 is divisible by 43 i
e  43m, for some natural number
Now, let n = k+1
P(k+1)= 6k+1+2 + 72(k+1) +1               =6K+3 + 72k + 3               =6
 6k+2 + 49
 72k+1               =6
 6k+2 + 6  72k+1 + 43
 72k+1               =6
 6k+2 + 72k+1 + 43
 72k+1               =6 × 43m + 43
 72k+1              =43( 6m + 72k+1)
which is divisible by 43 clearly
Hence, it is true for n= k+1
So, P1 and Pk+1 is true whenever Pk is true
Hence, by the PMI, Pn is true for all n∈N