Rs Aggarwal 2015 Solutions for Class 10 Math Chapter 10 Quadratic Equations are provided here with simple step-by-step explanations. These solutions for Quadratic Equations are extremely popular among Class 10 students for Math Quadratic Equations Solutions come handy for quickly completing your homework and preparing for exams. All questions and answers from the Rs Aggarwal 2015 Book of Class 10 Math Chapter 10 are provided here for you for free. You will also love the ad-free experience on Meritnation’s Rs Aggarwal 2015 Solutions. All Rs Aggarwal 2015 Solutions for class Class 10 Math are prepared by experts and are 100% accurate.

Page No 423:

Question 1:

Which of the following are quadratic equation in x ?
(i) x2-x+3=0
(ii) 2x2+52x-3=0
(iii) 2x2+7x+52=0
(iv) 13x2+15x-2=0
(v) x2-3x-x+4=0
(vi) x-6x=3
(vii) x+2x=x2
(viii) x2-1x2=5
(ix) x+23=x3-8
(x) 2x+33x+2=6x-1x-2
(xi) x+1x2=2x+1x+3

Answer:

i) (x2  x + 3) is a quadratic polynomial. x2  x + 3 = 0 is a quadratic equation.ii) Clearly, (2x2 + 52x  3) is a quadratic polynomial. 2x2 + 52x  3 = 0 is a quadratic equation.iii) Clearly, (2x2 + 7x + 52) is a quadratic polynomial. 2x2 + 7x + 52 = 0 is a quadratic equation.iv) Clearly, (13x2 + 15x  2) is a quadratic polynomial. 13x2 + 15x  2 = 0 is a quadratic equation.v) (x2  3x  x + 4) contains a term with x, i.e, x12, where 12 is not a integer. Therefore, it is not a quadratic polynomial. x2  3x  x + 4 = 0 is not a quadratic equation.vi) x  6x = 3 x2  6 = 3x x2  3x  6 = 0(x23x6) is a quadratic polynomial; therefore, the givenequation is quadratic. vii) x + 2x = x2 x2 + 2 = x3 x3  x2  2 = 0(x3  x2  2) is  not a quadratic polynomial. x3  x2  2 = 0 is not a quadratic equation.viii) x2  1x2 = 5 x4  1 = 5x2 x4  5x2  1 = 0(x4  5x2  1) is a polynomial with degree 4. x4  5x2  1 = 0 is not a quadratic equation.
(ix) x+23=x3-8
x3+6x2+12x+8=x3-86x2+12x+16=0
This is of the form ax2 + bx + c = 0.
Hence, the given equation is a quadratic equation.
(x) 2x+33x+2=6x-1x-2
6x2+4x+9x+6=6x2-3x+26x2+13x+6=6x2-18x+1231x-6=0
This is not of the form ax2 + bx + c = 0.
Hence, the given equation is not a quadratic equation.
(xi) x+1x2=2x+1x+3
x2+1x2=2x2+1x+3x2+12=2xx2+1+3x2x4+2x2+1=2x3+2x+3x2x4-2x3-x2-2x+1=0
This is not of the form ax2 + bx + c = 0.
Hence, the given equation is not a quadratic equation.



Page No 424:

Question 2:

Which of the following are the roots of 3x2+2x-1=0 ?
(i) −1
(ii) 13
(iii) -12

Answer:

The given equation is (3x2 + 2x  1 = 0).(i) x = (1) L.H.S. = x2 + 2x  1= 3 × (1)2 + 2 × (1)  1= 3  2  1= 0= R.H.S.Thus, (1) is a root of (3x2 + 2x  1 = 0).(ii) On substituting x = 13 in the given equation, we get:L.H.S. = 3x2 + 2x  1  = 3 × 132 + 2 × 13  1 = 3 1× 193+ 23  1= 1 + 2  33 = 03= 0= R.H.S.Thus,  13 is a root of (3x2 + 2x  1 = 0).(iii) On substituting x = 12 in the given equation, we get:L.H.S. = 3x2 + 2x  1  = 3 × 122 + 21 × 121  1 = 3 × 14 1 1= 34  2= 3  84= 54  0Thus, L.H.S.= R.H.S.Hence, 12 is a not solution of  (3x2 + 2x  1= 0).

Page No 424:

Question 3:

Find the value of k for which x = 1 is root of the equation x2+kx+3=0.

Answer:

It is given that (x=1) is a root of (x2 + kx + 3 = 0). Therefore, (x=1) must satisfy the equation. (1)2 + k × 1 + 3 = 0  k + 4 = 0  k = 4Hence, the required value of k is 4.

Page No 424:

Question 4:

Find the values of a and b for which x=34 and x=-2 are the roots of the equation ax2+bx-6=0.

Answer:

It is given that 34 is a root of ax2 + bx  6 = 0; therefore, we have:a × (34)2 + b × 34 6 = 0 9a16 + 3b4 = 6 9a + 12b16 = 6 9a + 12b  96 = 0 3a + 4b = 32        ...(i) Again, (2) is a root of ax2 + bx  6 = 0; therefore, we have:a×(2)2 + b×(2)  6 = 0 4a  2b = 6 2a  b = 3        ...(ii)On multiplying (ii) by 4 and adding the result with (i), we get: 3a + 4b + 8a  4b = 32 + 12 11a = 44 a = 4Putting the value of a in  (ii), we get:2×4  b = 3  b = 3 b = 5Hence, the required values of a and b are 4 and 5, respectively.

Page No 424:

Question 5:

(3x-5)(2x+3)=0

Answer:

Given: (3x  5) (2x + 3) = 0 3x  5 = 0 or 2x + 3 = 0 x = 53 or x = 32Hence, 53 and 32 are the roots of the equation (3x  5)(2x + 3) = 0.

Page No 424:

Question 6:

5x2+4x=0

Answer:

Given:5x2 + 4x = 0 x(5x + 4) = 0 x = 0 or 5x + 4 = 0 x = 0 or x = 45Hence, 0 and 45 are the roots of the equation 5x2 + 4x = 0.

Page No 424:

Question 7:

3x2-243=0

Answer:

Given:3x2  243 = 0 3(x2  81) = 0 (x)2  (9)2 = 0 (x + 9)(x  9) = 0 x + 9 = 0 or x  9 = 0 x = 9 or  x= 9Hence,9 and 9 are the roots of the equation 3x2243=0.

Page No 424:

Question 8:

x2+12x+35=0

Answer:

Given:x2 + 12x + 35 = 0 x2 + 7x + 5x + 35 = 0 x(x + 7) + 5(x + 7) = 0 (x + 5)(x + 7) = 0 x + 5 = 0 or x + 7 = 0 x = 5 or x = 7Hence,5 and 7 are the roots of the equation x2 + 12x + 35 = 0.

Page No 424:

Question 9:

x2=18x-77

Answer:

Given:x2 = 18x  77 x2  18x + 77 = 0  x2  (11x + 7x) + 77 = 0 x2  11x  7x + 77 = 0 x(x  11)  7(x  11) = 0 (x  7)(x  11) = 0 x  7 = 0 or x  11 = 0 x = 7 or x = 11Hence, 7 and 11 are the roots of the equation x2 = 18x  77.

Page No 424:

Question 10:

9x2+6x+1=0

Answer:

Given:9x2 + 6x + 1 = 0 9x2 + 3x + 3x + 1 = 0 3x(3x + 1) + 1(3x + 1) = 0 (3x + 1)(3x + 1) = 0 3x + 1 = 0 or 3x + 1 = 0 x = 13 or x = 13Hence, 13is the root of the equation 9x2 + 6x + 1 = 0.

Page No 424:

Question 11:

4x2-12x+9=0

Answer:

Given:4x2  12x + 9 = 0 4x2  (6x + 6x) + 9 = 0 4x2  6x  6x + 9 = 0 2x(2x  3) 3(2x  3) = 0 (2x  3)(2x  3) = 0 2x  3 = 0 or 2x  3 = 0 x = 32 or x = 32Hence, 32is the root of the equation 4x2  12x + 9 = 0.

Page No 424:

Question 12:

6x2+11x+3=0

Answer:

Given:6x2 + 11x + 3 = 0 6x2 + 9x + 2x + 3 = 0 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0 (3x + 1)(2x + 3) = 0 3x + 1 = 0 or 2x + 3 = 0 x = 13 or x = 32Hence, 13 and 32are the roots of the equation 6x2 + 11x + 3 = 0.

Page No 424:

Question 13:

6x2+x-12=0

Answer:

Given:6x2 + x  12 = 0 6x2 + 9x  8x  12 = 0 3x(2x + 3)  4(2x + 3) = 0 (3x  4)(2x + 3) = 0 3x  4 = 0 or 2x + 3 = 0 x = 43 or x = 32Hence, 43 and 32 are the roots of the equation 6x2 + x  12 = 0.

Page No 424:

Question 14:

3x2-2x-1=0

Answer:

Given: 3x2  2x  1 = 0 3x2  (3x  x)  1 = 0 3x2  3x + x  1 = 0 3x(x  1) + 1(x  1) = 0 (3x + 1)(x  1) = 0 3x + 1 = 0 or x  1 = 0 x = 13 or x = 1Hence, 13 and 1 are the roots of the equation 3x2  2x  1 = 0.

Page No 424:

Question 15:

6x2-x-2=0

Answer:

Given:6x2  x  2 = 0 6x2  (4x  3x)  2 = 0 6x2  4x + 3x  2 = 0 2x(3x  2) + 1(3x  2) = 0 (2x + 1)(3x  2) = 0 2x + 1 = 0 or 3x  2 = 0 x = 12 or x = 23Hence, the roots of the equation are 12 and 23.

Page No 424:

Question 16:

48x2-13x-1=0

Answer:

Given:48x2  13x  1 = 0 48x2  (16x  3x)  1 = 0 48x2  16x + 3x  1 = 0 16x(3x  1) + 1(3x  1) = 0 (16x + 1)(3x  1) = 0 16x + 1 = 0 or 3x  1 = 0 x = 116 or x = 13Hence, the roots of the equation are 116 and 13.

Page No 424:

Question 17:

3x2+11x+10=0

Answer:

Given:3x2 + 11x + 10 = 0 3x2 + (6x + 5x) + 10 = 0 3x2 + 6x + 5x + 10 = 0 3x(x + 2) + 5(x + 2) = 0 (3x + 5)(x + 2) = 0 3x + 5 = 0 or x + 2 = 0 x = 53 or x = 2Hence, the roots of the equation are 53 and 2.

Page No 424:

Question 18:

4x2-9x=100

Answer:

Given:4x2  9x = 100 4x2  9x  100 = 0 4x2  (25x  16x)  100 = 0 4x2  25x + 16x  100 = 0 x(4x  25) + 4(4x  25) = 0 (4x  25)(x + 4) = 0 4x  25 = 0 or x + 4 = 0 x = 254 or x = 4Hence, the roots of the equation are 254 and 4.

Page No 424:

Question 19:

9x2-22x+8=0

Answer:

Given:9x2  22x + 8 = 0 9x2  (18x + 4x) + 8 = 0 9x2  18x  4x + 8 = 0 9x(x  2)  4(x  2) = 0 (x  2)(9x  4) = 0 x  2 = 0 or 9x  4 = 0 x = 2 or x = 49Hence, the roots of the equation are 2 and 49.

Page No 424:

Question 20:

15x2-28=x

Answer:

Given:15x2  28 = x 15x2  x  28 = 0 15x2 (21x  20x)  28 = 0 15x2  21x + 20x  28 = 0 3x(5x  7) + 4(5x  7) = 0 (3x + 4)(5x  7) = 0 3x + 4 = 0 or 5x  7 = 0 x = 43 or x = 75Hence, the roots of the equation are 43 and 75.

Page No 424:

Question 21:

4-11x=3x2

Answer:

Given: 11x = 3x2  3x2 + 11x  4 = 0 3x2 + 12x  x  4 = 0 3x(x + 4)  1(x + 4) = 0 (x + 4)(3x  1) = 0 x + 4 = 0 or 3x  1 = 0 x = 4 or x = 13Hence, the roots of the equation are 4 and 13.

Page No 424:

Question 22:

43x2+5x-23=0

Answer:

Given:x2  (1 + 2)x + 2 = 0 x2  x  2x + 2 = 0 x(x  1)  2(x  1) = 0 (x  2)(x  1) = 0 x  2 = 0 or x  1 = 0 x = 2 or x = 1Hence, the roots of the equation are 2 and 1.

Page No 424:

Question 23:

3x2+11x+63=0

Answer:

Given:3x2 + 11x + 63 = 0 3x2 + 9x + 2x + 63 = 0 3x(x + 33) + 2(x + 33) = 0 (x + 33)(3x + 2) = 0 x + 33 = 0 or 3x + 2 = 0 x = 33 or x = 23 = 2 × 33 × 3 = 233Hence, the roots of the equation are 33 and 233.

Page No 424:

Question 24:

43x2+5x-23=0

Answer:

Given:43x2 + 5x  23 = 0 43x2 + 8x  3x  23 = 0 4x(3x + 2)  3(3x + 2) = 0 (4x  3)(3x + 2) = 0 4x  3 = 0 or 3x + 2 = 0 x = 34 or x = 23 = 2 × 33 × 3 = 233Hence, the roots of the equation are 34 and 233.

Page No 424:

Question 25:

37x2+4x-7=0

Answer:

Given:37x2 + 4x  7 = 0 37x2 + 7x  3x  7 = 0 7x(3x + 7)  1(3x + 7) = 0 (3x + 7)(7x  1) = 0 3x + 7 = 0 or 7x  1 = 0 x = 73 or x = 17 = 1 × 77 × 7 = 77Hence, the roots of the equation are 73 and 77.

Page No 424:

Question 26:

7y2-6y-137=0

Answer:

Given:7y2  6y  137 = 0 7y2  (13y  7y)  137 =  0  7y2 + 7y  13y  137 = 0 7y(y + 7)  13(y + 7) = 0 (y + 7)(7y  13) = 0 y + 7 = 0 or 7y  13 = 0 y = 7 or y = 137 = 13 × 77 × 7 = 1377Hence, the roots of the equation are 7 and 1377.

Page No 424:

Question 27:

46x2-13x-26=0

Answer:

Given:46x2  13x  26 = 0 46x2  16x + 3x  26 = 0 42x(3x  22) + 3(3x  22) = 0 (42x + 3)(3x  22) = 0 42x + 3 = 0 or 3x  22 = 0 x = 342 = 3 × 242 × 2 68 or x = 223 = 22 × 33 × 3 = 263Hence, the roots of the equation are 68 and 263.

Page No 424:

Question 28:

5x-35x=18, x0

Answer:

Given:5x  35x = 18 5x2  35 = 18x    [Multiplying both side by x] 5x2  18x  35 = 0 5x2  (25x  7x)  35 = 0 5x2  25x + 7x  35 = 0 5x(x  5) + 7(x  5) = 0 (5x + 7)(x  5) = 0 5x + 7 = 0 or x  5 = 0 x = 75 or x = 5Hence, the roots of the equation are 75 and 5.

Page No 424:

Question 29:

10x-13=3

Answer:

Given:10x  1x = 3 10x2  1 = 3x    [Multiplying both sides by x] 10x2  3x  1 = 0 10x2  (5x  2x)  1 = 0 10x2  5x + 2x  1 = 0 5x(2x  1) + 1(2x  1) = 0 (2x  1)(5x + 1) = 0 2x  1 = 0 or 5x + 1 = 0 x = 12 or x = 15Hence, the roots of the equation are 12 and 15.

Page No 424:

Question 30:

2x2-5x+2=0

Answer:

Given:2x2  5x + 2 = 0 2  5x + 2x2 = 0    [Multiplying both side by x2] 2x2  5x + 2 = 0 2x2  (4x + x) + 2 = 0 2x2  4x  x + 2 = 0 2x(x  2)  1(x  2) = 0 (2x  1)(x  2) = 0 2x  1 = 0 or x  2 = 0 x = 12 or x = 2Hence, the roots of the equation are 12 and 2.

Page No 424:

Question 31:

abx2+(b2-ac)x-bc=0

Answer:

Given:abx2 + (b2  ac)x  bc = 0 abx2 + b2x  acx  bc = 0 bx(ax + b)  c(ax + b) = 0 (bx  c)(ax + b) = 0 bx  c = 0 or ax + b = 0 x = cb or x = baHence, the roots of the equation are cb and ba.

Page No 424:

Question 32:

a2b2x2+b2x-a2x-1=0

Answer:

Given:a2b2x2 + b2x  a2x  1 = 0 b2x(a2x + 1)  1(a2x + 1) = 0 (b2x  1)(a2x + 1) = 0 (b2x  1) = 0 or  (a2x + 1) = 0 x = 1b2 or x = 1a2Hence, 1b2 and 1a2 are the roots of the given equation.

Page No 424:

Question 33:

12abx2-(9a2-8b2)x-6ab=0

Answer:

Given:12abx2  (9a2  8b2)x  6ab = 0 12abx2  9a2x + 8b2x  6ab = 0 3ax(4bx  3a) + 2b(4bx  3a) = 0 (3ax + 2b)(4bx  3a) = 0 3ax + 2b = 0 or 4bx  3a = 0 x = 2b3a or x = 3a4bHence, the roots of the equation are 2b3a and 3a4b.

Page No 424:

Question 34:

4x2-2(a2+b2)x+a2b2=0

Answer:

Given:4x2  2(a2 + b2)x + a2b2 = 0 4x2  2a2x  2b2x + a2b2 = 0 2x(2x  a2)  b2(2x  a2) = 0 (2x  b2)(2x  a2) = 0 2x  b2 = 0 or 2x  a2 = 0 x = b22 or x = a22Hence, the roots of the equation are b22 and a22.

Page No 424:

Question 35:

1(x+4)-1(x-7)=1130, (x-4,7)

Answer:

Given:1(x + 4)  1(x  7) = 1130 (x  7)  (x + 4)(x + 4)(x  7) = 1130 11(x2  3x  28) = 1130 1(x2  3x  28) = 130      [On dividing both side by 11] (x2  3x  28) = 30        [On cross multiplying] x2  3x + 2 = 0 x2  2x  x + 2 = 0 x(x  2)  1(x  2) = 0 (x  1)(x  2) = 0 x  1 = 0 or x  2 = 0 x = 1 or x = 2Hence, the roots of the equation are 1 and 2.

Page No 424:

Question 36:

1(x-3)-1(x+5)=16,(x3,-5)

Answer:

Given:1(x  3)  1(x + 5) = 16 (x + 5)  (x  3)(x  3)(x + 5) = 16 8(x2  2x  15) = 16 (x2  2x  15) = 48        [On cross multiplying] x2  2x  63 = 0 x2  (9x  7x)  63 = 0 x2  9x + 7x  63 = 0 x(x  9) + 7(x  9) = 0 (x + 7)(x  9) = 0 x + 7 = 0 or x  9 = 0 x = 7 or x = 9Hence, the roots of the equation are 7 and 9.

Page No 424:

Question 37:

(x-3)(x+3)-(x+3)(x-3)=667,(x-3, 3)

Answer:

Given:(x  3)(x + 3)  (x + 3)(x  3) = 667 (x  3)(x  3)  (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x  3) = 487 (x2  6x + 9)  (x2 + 6x + 9)(x2  9) = 487 12x(x2  9) = 487 x(x2  9) = 47   [On dividing both sides by 12] (4x2  36) = 7x    [On cross multiplying] 4x2 + 7x  36 = 0 4x2 + 16x  9x  36 = 0 4x(x + 4)  9(x + 4) = 0 (4x  9)(x + 4) = 0 4x  9 = 0 or x + 4 = 0 x = 94 or x = 4Hence, the roots of the equation are 94 and 4.

Page No 424:

Question 38:

2x(x-4)+(2x-5)(x-3)=253, (x4, 3)

Answer:

Given:2x(x  4) + (2x  5)(x  3) = 253 2x(x  3) + (2x  5)(x  4)(x  4)(x  3) = 253 2x2  6x + 2x2  5x  8x + 20(x2  7x + 12) = 253 4x2  19x + 20(x2  7x + 12) = 253 12x2  57x + 60 = 25x2  175x + 300        [On cross multiplying] 13x2 + 118x  240 = 0 13x2  (78 + 40)x + 240 = 0 13x2  78x  40x + 240 = 0 13x(x  6)  40(x  6) = 0 (13x  40)(x  6) = 0 13x  40 = 0 or x  6 = 0 x = 4013 or x = 6Hence, the roots of the equation are 4013 and 6.



Page No 425:

Question 39:

(x+3)(x-2)-(1-x)x=174, (x=0, 2)

Answer:

Given:(x + 3)(x  2)  (1  x)x = 174 x(x + 3)  (1  x)(x  2)(x  2)x = 174 x2 + 3x  (x  2  x2 + 2x)x2  2x = 174 x2 + 3x + x2  3x + 2x2  2x = 174 2x2 + 2x2  2x = 174 8x2 + 8 = 17x2  34x        [On cross multiplying] 9x2 + 34x + 8 = 0 9x2  34x  8 = 0 9x2  36x + 2x  8 = 0 9x(x  4) + 2(x  4) = 0 (x  4)(9x + 2) = 0 x  4 = 0 or 9x + 2 = 0 x = 4 or x = 29Hence, the roots of the equation are 4 and 29.

Page No 425:

Question 40:

1(x-2)+2(x-1)=6x, (x2, 1)

Answer:

Given:1(x  2) + 2(x  1) = 6x (x  1) + 2(x  2)(x  1)(x  2) = 6x 3x  5x2  3x + 2 = 6x 3x2  5x = 6x2  18x + 12        [On cross multiplying] 3x2  13x + 12 = 0 3x2  (9 + 4)x + 12 = 0 3x2  9x  4x + 12 = 0 3x(x  3)  4(x  3) = 0 (3x  4)(x  3) = 0  3x  4 = 0 or x  3 = 0 x = 43 or x = 3Hence, the roots of the equation are 43 and 3.

Page No 425:

Question 41:

1(x-2)+1x=8(2x+5), x0, -52

Answer:

Given:1(x  2) + 1x = 8(2x + 5) x + (x  2)x(x  2) = 8(2x + 5) (2x  2)x(x  2) = 8(2x + 5) (2x  2)(2x + 5) = 8x(x  2) [On cross multiplying] 4x2 + 6x  10 = 8x2  16x 4x2  22x + 10 = 0 2(2x2  11x + 5) = 0 2x2  11x + 5 = 0 2x2  (10 + 1)x + 5 = 0 2x2  10x  x + 5 = 0 2x(x  5)  1(x  5) = 0 (x  5)(2x  1) = 0 x  5 = 0 or 2x  1 = 0 x = 5 or x = 12 Hence, the roots of the equation are 5 and 12.

Page No 425:

Question 42:

xx+12-5xx+1+6=0, (x-1)

Answer:

Given:xx + 12  5xx + 1 + 6 = 0Putting xx + 1= y, we get:y2  5y + 6 = 0 y2  5y + 6 = 0 y2  (3 + 2)y + 6 = 0 y2  3y  2y + 6 = 0 y(y  3)  2(y  3) = 0 (y  3)(y  2) = 0 y  3 = 0 or y - 2 = 0 y = 3 or y = 2Case IIf y=3, we get:xx + 1 = 3 x = 3(x + 1) [On cross multiplying] x = 3x + 3 x = 32Case IIIf y = 2, we get:xx + 1 = 2 x = 2(x + 1) x = 2x + 2 x = 2 x = 2 Hence, the roots of the equation are 32 and 2.

Page No 425:

Question 43:

2x-1x+3-7x+3x-2=5, (x-3, 1)

Answer:

Given:2x  1x + 3  7x + 3x  1 = 5Putting x  1x + 3 = y, we get:2y  7y = 5 2y2  7y = 5 2y2  7 = 5y 2y2  5y  7 = 0 2y2  (7  2)y  7 = 0 2y2  7y + 2y  7 = 0 y(2y  7) + 1(2y  7) = 0 (2y  7)(y + 1) = 0 2y  7 = 0 or y + 1 = 0 y = 72 or y = 1Case IIf y=72, we get:x  1x + 3 = 72 2(x  1) = 7(x + 3) [On cross multiplying] 2x  2 = 7x + 21 5x = 23 x = 235Case IIIf y = 1, we get:x  1x + 3 1 x  1 = 1(x + 3) x  1 = x  3 2x = 2 x = 1 Hence, the roots of the equation are 235 and 1.

Page No 425:

Question 44:

22x-1x+3-3x+32x-1=5, x-3, 12

Answer:

Given:22x  1x + 3  3x + 32x  1 = 5Putting 2x  1x + 3 = y, we get:2y  3y = 5 2y2  3y = 5 2y2  3 = 5y [On cross multiplying] 2y2  5y  3 = 0 2y2  (6  1)y  3 = 0 2y2  6y + y  3 = 0 2y(y  3) + 1(y  3) = 0 (y  3)(2y + 1) = 0 y  3 = 0 or 2y + 1 = 0 y = 3 or y = 12Case IIf y = 3, we get:2x  1x + 3 = 3 2x  1 = 3(x + 3) [On cross multiplying] 2x  1 = 3x + 9 x = 10 x = 10Case IIIf y = 12, we get: 2x  1x + 3 12 2(2x  1) = 1(x + 3) 4x  2 = x  3 5x = 1 x = 15Hence, the roots of the equation are 10 and 15.

Page No 425:

Question 45:

4x-32x+1-102x+14x-3=3, x-12, 34

Answer:

Given:4x  32x + 1  102x + 14x  3 = 3Putting 4x  32x + 1 = y, we get:y  10y = 3 y2  10y = 3 y2  10 = 3y [On cross multiplying] y2  3y  10 = 0 y2  (5  2)y  10 = 0 y2  5y + 2y  10 = 0 y(y  5) + 2(y  5) = 0 (y  5)(y + 2) = 0 y  5 = 0 or y + 2 = 0 y = 5 or y = 2Case IIf y = 5, we get:4x  32x + 1 = 5 4x  3 = 5(2x + 1) [On cross multiplying] 4x  3 = 10x + 5 6x = 8 6x = 8 x = 8463 x = 43Case IIIf y = 2, we get:4x  32x + 1 2 4x  3 = 2(2x + 1) 4x  3 = 4x  2 8x = 1 x = 18Hence, the roots of the equation are 43 and 18.

Page No 425:

Question 46:

a(x-b)+b(x-a)=2, (xb, a)

Answer:

a(x  b) + b(x  a) = 2 [a(x  b)  1] + [b(x  a)  1] = 0 a  (x  b)x  b + b  (x  a)x  a = 0 a  x + bx  b + a  x + bx  a = 0 (a  x + b)[1(x  b) + 1(x  a)] = 0 (a  x + b)[(x  a) + (x  b)(x  b)(x  a)] = 0 (a  x + b)[2x  (a + b)(x  b)(x  a)] = 0 (a  x + b)[2x  (a + b)] = 0 a  x + b = 0 or 2x  (a + b) = 0 x = a + b or x = a + b2Hence, the roots of the equation are (a + b) and (a + b2).  

Page No 425:

Question 47:

a(ax-1)+b(bx-1)=(a+b), x1a,1b

Answer:

a(ax  1) + b(bx  1) = (a + b) [a(ax  1)  b] + [b(bx  1)  a] = 0 a  b(ax  1)ax  1 + b  a(bx  1)bx  1 = 0 a  abx + bax  1 + a  abx + bbx  1 = 0 (a  abx + b)[1(ax  1) + 1(bx  1)] = 0 (a  abx + b)[(bx  1) + (ax  1)(ax  1)(bx  1)] = 0 (a  abx + b)[(a + b)x  2(ax  1)(bx  1)] = 0 (a  abx + b)[(a + b)x  2] = 0 a  abx + b = 0 or (a + b)x  2 = 0 x = (a + b)ab or x = 2(a + b) Hence, the roots of the equation are (a + b)ab and 2(a + b).

Page No 425:

Question 48:

3(x+2)+3-x=10

Answer:

 3(x+2) + 3x = 103x.9  + 13x = 10Let 3x be equal to y. 9y + 1y = 10 9y2 + 1 = 10y 9y2 - 10y + 1 = 0 (y  1)(9y  1) = 0 y  1 = 0 or 9y  1 = 0 y = 1 or y = 19 3x = 1 or 3x = 19 3x = 30  or 3x = 32 x = 0 or x = 2Hence, 0 and 2 are the roots of the given equation.

Page No 425:

Question 49:

4(x+1)+4(1-x)=10

Answer:

Given:4(x+1) + 4(1x) = 10 4x.4 + 41.14x = 10Let 4xbe y. 4y + 4y = 10 4y2  10y + 4 = 0 4y2  8y  2y + 4 = 0 4y(y  2)  2(y  2) = 0 y = 2 or y = 24 = 12 4x = 2 or 12 4x = 22x = 21  or  22x = 2-1 x = 12 or  x = -12Hence, 12 and -12 are roots of the given equation.

Page No 425:

Question 50:

22x-3.2(x+2)+32=0

Answer:

Given:22x  3.2(x+2) + 32 = 0 (2x)2  3.2x.22 + 32 = 0Let 2x be y. y2  12y + 32 = 0 y2  8y  4y + 32 = 0 y(y  8)  4(y  8) = 0 (y  8) = 0 or (y  4) = 0 y = 8 or y = 4 2x = 8 or 2x = 4 2x = 23 or 2x = 22 x= 2 or 3 Hence, 2 and 3 are the roots of the given equation.



Page No 431:

Question 1:

2x2-7x+6=0

Answer:

Given:2x2  7x + 6 = 0Here,a = 2,b = 7,c = 6Discriminant D is diven by:D = b2  4ac= (7)2  4 × 2 × 6= 49  48= 1

Page No 431:

Question 2:

3x2-2x+8=0

Answer:

Given:3x2  2x + 8 = 0Here,a = 3,b = 2,c = 8Discriminant D is given by:D = b2  4ac(2)2  4 × 3 × 84  96= 92

Page No 431:

Question 3:

2x2-52x+4=0

Answer:

Given:2x2  52x + 4 = 0Here,a = 2,b = 52,c = 4Discriminant D is given by:D = b2  4ac= (52)2  4 × 2 × 4= (25 × 2)  32= 50  32= 18

Page No 431:

Question 4:

3x2+22x-23=0

Answer:

Given:3x2 + 22x  23 = 0Here,a = 3,b = 22,c = 23Discriminant D is given by:D = b2  4ac= (22)2  4 × 3 × (23)= (4 × 2) + (8 × 3)= 8 + 24= 32

Page No 431:

Question 5:

1-x=2x2

Answer:

Given:1  x = 2x2 2x2 + x  1 = 0Here,a = 2,b = 1,c = 1Discriminant D is given by:D = b2  4ac= 12  4 × 2(1)= 1 + 8= 9

Page No 431:

Question 6:

x2=4x-c

Answer:

Given:x2 = 4x  c⇒ x2  4x + c = 0Here, a = 1b = 4c = cDiscriminant D is given by:D = b2  4ac(4)2  4 × 1 × c= 16  4c

Page No 431:

Question 7:

6x2+7x-10=0

Answer:

Given: 6x2 + 7x  10 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 6, b = 7 and c = 10Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)[72  4 × 6 × (10)]49 + 240= 289 > 0Thus, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = 7 + 2892 × 6 = 7 + 28912 = 7 + 1712 = 1012 = 56β b  D2a = 7  2892 × 6 = 7  28912 = 7  1712 = 2412 = 2Hence, the roots of the equation are 56 and 2.

Page No 431:

Question 8:

2x2-9x+7=0

Answer:

Given:2x2  9x + 7 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 2, b = 9 and c = 7Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(9)2  4 × 2 × 7= 81  5625= 25 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α=b  D2a (9)  252 × 2 = 9  54 = 44 = 1β = b + D2a (9) + 252 × 2 = 9 + 54 = 144 = 72Hence, the roots of the equation are 1 and 72.

Page No 431:

Question 9:

2x2+x-6=0

Answer:

 Given:2x2 + x  6 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 2, b = 1 and c = 6Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= 12  4 × 2 × (6)= 1 + 48= 49= 49 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = 1 + 492 × 2 = 1 + 74 = 64 = 32β = b  D2a=1  492 × 2=1  74 = 84 = 2Thus, the roots of the equation are 32 and 2.

Page No 431:

Question 10:

Find the roots of each of the following equations, if they exist, by applying the quadratic formula:

x2-4x-1=0

Answer:

Given:x2  4x  1 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 1, b = 4 and c = 1Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(4)2  4 × 1 × (1)= 16 + 420= 20 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = (4) + 202 × 1 = 4 + 252 = 2(2 + 5)2 = (2 + 5)β = b  D2a = (4)  202 = 4  252 = 2(2  5)2 = (2  5)Thus, the roots of the equation are (2 + 5)  and (2  5).

Page No 431:

Question 11:

x2-6x+4=0

Answer:

Given:x2  6x + 4 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 1, b = 6 and c = 4Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(6)2  4 × 1 × 4= 36  16= 20 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = (6) + 202 × 1 = 6 + 252 = 2(3 + 5)2 (3 + 5)β = b  D2a =(6)  202 × 1 = 6  252 = 2(3  5)2 = (3  5)Thus, the roots of the equation are (3 + 25) and (3  25).

Page No 431:

Question 12:

x2-7x-5=0

Answer:

Given:x2  7x  5 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 1, b = 7 and c = 5Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(7)2  4 × 1 × (5)= 49 + 20= 69 > 0Hence,the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = (7) + 692 × 1 = 7 + 692β = b  D2a = (7)  692 = 7  692Thus, the roots of the equation are (7 + 692) and (7  692).

Page No 431:

Question 13:

5x2-19x+17=0

Answer:

Given:5x2  19x + 17 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 5, b = 19 and c = 17Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= (19)2  4 × 5 × 17= 361  340= 21 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = (19) + 212 × 5 = (19) + 2110 = 19 + 2110β = b  D2a = (19)  212 × 5 = (19)  2110 = 19  2110Thus, the roots of the equation are 19 + 2110 and 19  2110.

Page No 431:

Question 14:

3x2-32x+12=0

Answer:

Given:3x2  32x + 12 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 3, b = 32 and c = 12Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(32)2 4 × 3 × 12= 1024  144= 880 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α =b + D2a = (32) + 8802 × 3 = 32 + 4556 = 4(8 + 55)6 = 23(8 + 55) = (16 + 255)3β = b  D2a = (32)  8802 × 3 = 32  4556 = 4(8  55)6 = 23(8  55) = (16  255)3Thus, the roots of the equation are (16 + 255)3 and (16  255)3.



Page No 432:

Question 15:

25x2+30x+7=0

Answer:

Given:25x2 + 30x + 7 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 25, b = 30 and c = 7Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= 302  4 × 25 × 7= 900  700= 200= 200 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = 30 + 2002 × 25 = 30 + 10250 = 10(3 + 2)50 = (3 + 2)5β = b  D2a = 30  2002 × 25 = 30  10250 = 10(3  2)50 = (3  2)5Thus, the roots of the equation are (3 + 2)5 and (3  2)5.

Page No 432:

Question 16:

15x2-28=x

Answer:

Given:15x2  28 = x⇒ 15x2  x  28 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 15, b = 1 and c = 28Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(1)2  4 × 15 × (28)= 1  (1680)= 1 + 1680= 1681= 1681 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = (1) + 16812 × 15 = 1 + 4130 = 4230 = 75β = b  D2a = (1)  16812 × 15 = 1  4130 = 4030 = 43Thus, the roots of the equation are 75 and 43.

Page No 432:

Question 17:

4-11x=3x2

Answer:

Given: 11x = 3x2⇒ 3x2 + 11x  4 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0,  we get:a = 3, b = 11 and c = 4Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= 112  4 × 3 × (4)= 121 + 48= 169= 169 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = 11 + 1692 × 3 = 11 + 136 = 26 = 13β = b  D2a = 11  1692 × 3 =  11  136 = 246 = 4Thus, the roots of the equation are 13 and 4.

Page No 432:

Question 18:

16x2=24x+1

Answer:

Given:16x2 = 24x + 1⇒ 16x2  24x  1 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0a = 16, b = 24 and c = 1Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(24)2  4 × 16 × (1)= 576 + (64)= 640 > 0Hence, the roots of the equation are real,Roots α and β are given by:α = b + D2a (24) + 6402 × 16 = 24 + 81032 = 8(3 + 10)32 = (3 + 10)4β = b  D2a = (24)  6402 × 16 = 24  81032 = 8(3  10)32 = (3  10)4Thus, the roots of the equation are (3 + 10)4 and  (3  10)4.

Page No 432:

Question 19:

3x2+25x-5=0

Answer:

Given:3x2 + 25x  5 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 3, b = 25 and c = 5Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(25)2  4 × 3 × (5)(4 × 5) + 60= 20 + 60= 80= 80 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α = b + D2a = 25 + 802 × 3 = 25 + 456 = 5(2 + 4)6 = 53β = b  D2a = 25  802 × 3 = 5(2  4)6 = 5(6)6 = 5Thus, the roots of the equation are 53  and 5.

Page No 432:

Question 20:

2x2-26x+3=0

Answer:

Given:2x2  26x + 3 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 2, b = 26 and  c = 3Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(26)2  4 × 2 × 3= 24  24= 0Hence, the equation has two equal roots.Roots are given by:x = b2a and b2a= (26)2 × 2 and (26)2 × 2= 62 and 62Thus, the roots are 62 and 62.

Page No 432:

Question 21:

3x2+10x-83=0

Answer:

Given:3x2 + 10x  83 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 3, b = 10 and c = 83Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= (10)2  4 × 3 × (83)= 100 + 96= 196 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by: α b + D2a = 10 + 19623 = 10 + 1423 = 423 = 23 = 23 × 33 = 233β = b  D2a = 10  19623 = 10  1423 = 2423 = 123 = 123 × 33 = 1233 = 43Thus, the roots of the equation are 233 and 43.

Page No 432:

Question 22:

9x2-4=0

Answer:

Given:9x2  4 = 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get:a = 9, b = 0 and c = 4Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(0)2  4 × 9 × (4)= 144 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α b + D2a = 0 + 1442 × 9 = 0 + 1218 = 1218 = 23β = b  D2a = 0  1442 × 9 = 0  1218 = 1218 = 23Thus, the roots of the equation are 23 and 23.

Page No 432:

Question 23:

3a2x2+8abx+4b2=0, a0

Answer:

Given:3a2x2 + 8abx + 4b2 = 0   On comparing it with Ax2 + Bx + C = 0, we get:A = 3a2, B = 8ab and C = 4b2   Discriminant D is given by:D = (B2  4AC)             = (8ab)2  4 × 3a2 × 4b2     = 16a2b2 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α b + D2a = 8ab + 16a2b22 × 3a2 = 8ab + 4ab6a2 = 4ab6a2 = 2b3aβ = b  D2a = 8ab  16a2b22 × 3a2 = 8ab  4ab6a2 = 12ab6a2 = 2baThus, the roots of the equation are 2b3a and 2ba.

Page No 432:

Question 24:

p2x2+(p2-q2)x-q2=0

Answer:

Given: p2x2 + (p2  q2)x  q2= 0On comparing it with ax2 + bx + c = 0, we get: a = p2, b = (p2  q2) and c = q2   Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)             = (p2  q2)2  4 × p2 × (q2)          = p4  2p2q2 + q4 + 4p2q2          = p4 + 2p2q2 + q4          = (p2 + q2)2 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α b + D2a = (p2  q2) + (p2 + q2)22 p2 = 2q22p2 = q2p2β = b  D2a = (p2  q2)  (p2 + q2)22 p2 = 2p22p2 = 1Hence, the roots of the equation are q2p2 and 1.

Page No 432:

Question 25:

x2-2ax+(a2-b2)=0

Answer:

Given: x2  2ax + (a2  b2) = 0On comparing it with Ax2 + Bx + C = 0, we get:A = 1, B = 2a and C = (a2  b2)Discriminant D is given by: D B2  4AC    (2a)2  4 × 1 × (a2  b2)= 4a2  4a2 + 4b2  = 4b2 > 0Hence, the roots of the equation are real.Roots α and β are given by:α b + D2a = (2a) + 4b22 × 1 = 2a + 2b2 = 2(a + b)2 = (a + b)β b  D2a = (2a)  4b22 × 1 = 2a  2b2 = 2(a  b)2 = (a  b)Hence, the roots of the equation are (a + b) and (ab).

Page No 432:

Question 26:

abx2+(b2-ac)x-bc=0

Answer:

Given:abx2 + (b2  ac)x  bc = 0On comparing it with Ax2 + Bx + C = 0, we get:     A = ab, B = (b2  ac) and C = bcDiscriminant D is given by: D B2  4AC      (b2  ac)2  4 × ab × (bc)   = b4  2ab2c + a2c2 + 4ab2c    = b4 + 2ab2c + a2c2     = (b2 + ac)2 > 0Hence, the roots of the equation are equal.Roots α and β are given by:α B + D2A = (b2  ac) + (b2 + ac)22 × ab = b2 + ac + b2 + ac2ab = 2ac2ab = cbβ B  D2A = (b2  ac)  (b2 + ac)22 × ab = b2 + ac  b2  ac2ab = 2b22ab = baThus, the roots of the equation are cb and ba.

Page No 432:

Question 27:

12abx2-(9a2-8b2)x-6ab=0, where a0 and b0

Answer:

Given:12abx2  (9a2  8b2)x  6ab = 0     On comparing it with Ax2 + Bx + C = 0, we get:     = 12ab, B = (9a2  8b2) and C = 6abDiscriminant D is given by: D B2  4AC  = [(9a2  8b2)]2  4 × 12ab × (6ab)     = 81a4  144a2b2 + 64b4 + 288a2b2   = 81a4 + 144a2b2 + 64b4   = (9a2 + 8b2)2 > 0Hence, the roots of the equation are equal.Roots α and β are given by:α B + D2A = [(9a2  8b2)] + (9a2 + 8b2)22 × 12ab = 9a2  8b2 + 9a2 + 8b224ab = 18a224ab = 3a4bβ B  D2A = [(9a2  8b2)]  (9a2+8b2)22 × 12ab = 9a2  8b2  9a2  8b224ab = 16b224ab = 2b3aThus, the roots of the equation are 3a4b and 2b3a.



Page No 439:

Question 1:

x2+8x+16=0

Answer:

Given: x2 + 8x + 16 = 0Here, a = 1, b = 8 and c = 16Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= (8)2  4 × 1 × 16= 64  64= 0Thus, the roots of the equation are equal.

Page No 439:

Question 2:

x2-6x+6=0

Answer:

Given: x2  6x + 6 = 0Here, a = 1, b = 6 and c = 6Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(6)2  4 × 1 × 6= 36  24= 12 > 0Thus, the roots of the equation are not equal.

Page No 439:

Question 3:

9x2-6x+4=0

Answer:

Given: 9x2  12x + 4 = 0Here, a = 9, b = 12 and c = 4Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= (12)2  4 × 9 × 4= 0Thus, the roots of the equation are equal.

Page No 439:

Question 4:

9x2-6x+4=0

Answer:

Given: 9x2  6x + 4 = 0Here, a = 9, b = 6 and c = 4Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(6)2  4 × 9 × 4= 36  144108 < 0 Thus, the roots of the equation are not equal.

Page No 439:

Question 5:

3x2-26x+2=0

Answer:

Given:3x2  26x + 2 = 0Here, a = 3, b = 26 and c = 2Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= (26)2  4 × 3 × 2= 24  24= 0Thus, the roots of the equation are equal.

Page No 439:

Question 6:

12x2-415x+5=0

Answer:

Given: 12x2  415x + 5 = 0Here, a = 12, b = 415 and c = 5Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= (415)2  4 × 12 × 5= 240  240= 0Thus, the roots of the equation are equal.

Page No 439:

Question 7:

Show that the roots of the equation x2+px-q2=0 are real for all real value of p and q.

Answer:

Given: x2 + px  q2 = 0Here, a = 1, b = p and c = q2Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)= p2  4 × 1 × (q2)= (p2 + 4q2) > 0D>0 for all real values of p and q.Thus, the roots of the equation are real.

Page No 439:

Question 8:

Show that the equation x2+ax-1=0 has real and distinct roots for all real values of a.

Answer:

Given: x2 + ax  1 = 0Here,  a = 1, b = a and c = 1Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)D= a2  4 × 1 × (1)D= (a2 + 4) For all real values of a, we have a2>0 or, a2+4 >0D > 0 for all real values of a.Thus, the roots of the equation are real and distinct for all real values of a.

Page No 439:

Question 9:

Show that the equation x2-x+2=0 has no real roots.

Answer:

Given: x2  x + 2 = 0Here,a = 1,  b = 1 and c = 2Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(1)2  4 × 1 × 2= 1  87 < 0D<0; therefore, the roots of the equation are not real.

Page No 439:

Question 10:

Find the values of k for which the equation kx2+2x+1=0 has real and distinct roots.

Answer:

Given: kx2 + 2x + 1 = 0Here,a = k, b = 2 and c = 1Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)(2)2  4 × k × 1= 4  4kIf D > 0, the roots of the equation will be real and distinct. 4  4k > 0 4(1 - k) > 0(1 - k) > 0 k<1Thus, the equation has real and distinct roots for all real values of k<1.

Page No 439:

Question 11:

Determine the values of p for which the quadratic equation 2x2+px+8=0 has real roots.

Answer:

Given: 2x2 + px + 8 = 0Here, a = 2, b = p and c = 8Discriminant D is given by:D = (b2  4ac)p2  4 × 2 × 8(p2  64)If D  0, the roots of the equation will be real. (p2  64)  0 (p + 8) (p - 8)  0 p  8 and p  -8Thus, the roots of the equation are real for p  8 and p-8.

Page No 439:

Question 12:

Find the value of α for which the equation (α-12)x2+2(α-12)x+2=0 has equal roots.

Answer:

Given: (α  12)x2 + 2(α  12)x + 2 = 0Here, a = (α  12), b = 2(α  12) and c = 2It is given that the roots of the equation are equal; therefore, we have:D = 0 (b2  4ac) = 0 {2(α  12)}2  4 × (α  12) × 2 = 0 4(α2  24α + 144)  8(α  12) = 0 4α2  96α + 576  8α + 96 = 0 4α2  104α + 672 = 0 α2  26α + 168 = 0 α2  14α  12α + 168 = 0 α(α  14)  12(α  14) = 0 (α  14)(α  12) = 0 α = 14 or α = 12If the value of α is 12, the given equation becomes non-quadratic.Therefore, the valueof α will be 14 for the equation to have equal roots.

Page No 439:

Question 13:

If the equation (1+m2)x2+2mcx+(c2-a2)=0 has equal roots, prove that c2=a2(1+m2).

Answer:

Given: (1 + m2)x2 + 2mcx + (c2  a2) = 0Here, a = (1 + m2), b = 2mc and c = (c2  a2)It is given that the roots of the equation are equal; therefore, we have:D = 0 (b2  4ac) = 0 (2mc)2  4 × (1 + m2) × (c2  a2) = 0 4m2c2  4(c2  a2 + m2c2  m2a2) = 0 4m2c2  4c2 + 4a2  4m2c2 + 4m2a2 = 0 4c2 + 4a2 + 4m2a2 = 0 a2 + m2a2 = c2 a2(1 + m2) = c2 c2 = a2(1 + m2)Hence proved.

Page No 439:

Question 14:

If the roots of the equation (c2-ab)x2-2(a2-bc)x+(b2-ac)=0 are real and equal, show that either a=0 or (a3+b3+c3)=3abc.

Answer:

Given: (c2  ab)x2  2(a2  bc)x + (b2  ac) = 0Here, a = (c2  ab), b = 2(a2  bc), c = (b2  ac)It is given that the roots of the equation are real and equal; therefore, we have:D=0(b2  4ac) = 0 {2(a2  bc)}2  4 × (c2  ab) × (b2  ac) = 0 4(a4  2a2bc + b2c2)  4(b2c2  ac3  ab3 + a2bc) = 0 a4  2a2bc + b2c2  b2c2 + ac3 + ab3  a2bc = 0 a4  3a2bc + ac3 + ab3 = 0 a(a3  3abc + c3 + b3) = 0Now,a = 0 or a3  3abc + c3 + b3 = 0a = 0 or a3 + b3 + c3 = 3abc

Page No 439:

Question 15:

Find the values k for which of roots of 9x2+8kx+16=0 are real and equal

Answer:

Given: 9x2 + 8kx + 16 = 0Here,a = 9, b = 8k and c = 16It is given that the roots of the equation are real and equal; therefore, we have:D = 0 (b2  4ac) = 0 (8k)2  4 × 9 × 16 = 0 64k2  576 = 0 64k2 = 576 k2 = 9 k = ±3 k = 3 or k = 3

Page No 439:

Question 16:

Find the values of k for which the roots of the equation (k+4)x2+(k+1)x+1=0 are real and equal?

Answer:

Given: (k + 4)x2 + (k + 1)x + 1 = 0Here, a = (k + 4), b = (k + 1) and c = 1It is given that the roots of the equation are real and equal; therefore, we have:D = 0 b2  4ac = 0 (k + 1)2  4 × (k + 4) × 1 = 0 k2 + 2k + 1  4k  16 = 0 k2  2k  15 = 0 k2  5k + 3k  15 = 0 k(k  5) + 3(k  5) = 0 (k  5)(k + 3) = 0 k = 5 or k = 3

Page No 439:

Question 17:

For what values of k are the roots of the quadratic equation 3x2+2kx+27=0 real and equal?

Answer:

Given: 3x2 + 2kx + 27 = 0Here, a = 3, b = 2k and c = 27It is given that the roots of the equation are real and equal; therefore, we have:D = 0 (2k)2  4 × 3 × 27 = 0 4k2  324 = 0 4k2 = 324 k2 = 81 k = ±9 k = 9 or k = 9



Page No 453:

Question 1:

The sum of two numbers is 8. Determine the numbers, if the sum of their reciprocals is 815.

Answer:

 Let the numbers be x and (8  x).According to the question:1x + 18  x = 815 8 x + xx(8  x) = 815 818x  x2 = 8115 18x  x2 = 115 8x  x2 = 15 x2  8x + 15 = 0 x2  (5 + 3)x + 15 = 0 x2  5x  3x + 15 = 0 x(x  5)  3(x  5) = 0 (x  5)(x  3) = 0 x  5 = 0  or  x  3 = 0 x = 5 or x = 3If x=5, the numbers are 5 and 3.     {∵ (8  5) = 3}If x=3, the numbers are 3 and 5.     {∵ (8  3) = 5} Hence, the numbers are 5 and 3.

Page No 453:

Question 2:

The difference of two numbers is 4. If the difference of their reciprocals is 421, find the number.

Answer:

Let the numbers be x and (x + 4).According to the question:1x  1x + 4 = 421 x + 4  xx(x + 4) = 421 41x2 + 4x = 4121 1x2 + 4x = 121 x2 + 4x = 21 x2 + 4x  21 = 0 x2 + (7  3)x  21 = 0 x2 + 7x  3x  21 = 0 x(x + 7)  3(x + 7) = 0 (x + 7)(x  3) = 0 x + 7 = 0 or x  3 = 0 x = 7  or x = 3If  x=7, the numbers are 7 and -3.          (∵ 7 + 4 = 3)If x = 3, the numbers are 3 and 7.                    (∵ 3 + 4 = 7) Hence, the numbers are (7, 3) or (3, 7).

Page No 453:

Question 3:

The sum of two numbers is 18 and the sum of their reciprocals is 14. Find the numbers.

Answer:

 Let the numbers be x and (18  x).According to the question:1x + 118  x = 14 18  x + xx(18  x) = 14 1818x  x2 = 14 18x  x2 = 72 x2  18x + 72 = 0 x2  (12 + 6)x + 72 = 0 x2  12x  6x + 72 = 0 x(x  12)  6(x  12) = 0 (x  12)(x  6) = 0 x  12 = 0 or x  6 = 0 x = 12 or x = 6If  x = 12, the numbers are 12 and 6.             (∵ 18  12 = 6)If x = 6, the numbers are 6 and12                  (∵ 18  = 12)Hence, the numbers are 12 and 6.

Page No 453:

Question 4:

The difference of two numbers is 5 and the difference of their reciprocals is 110. Find the numbers.

Answer:

 Let the numbers be x and(x + 5).According to the question:1x 1x + 5 = 110 x + 5 - xx(x + 5) = 110 5x2 + 5x = 110 x2 + 5x = 50 x2 + 5x - 50 = 0 x(x + 10) - 5(x + 10) = 0 (x + 10)(x  5) = 0 x + 10 = 0 or x  5 = 0 x = -10 or x = 5If x=5, the numbers are 5 and 10.                                (∵ 5 + 5 = 10)If x = -10, the numbers are -10 and -5.                 (∵ -10 + 5 = -5)Hence, the numbers are (5, 10) and (-10, -5).

Page No 453:

Question 5:

The sum of a number and its reciprocal is 34180. Find the number.

Answer:

 Let the number be x.According to the question:x + 1x = 34180 x2 + 1x = 28180 80x2 + 80 = 281x 80x2  281x + 80 = 0 80x2  (256 + 25)x + 80 = 0 80x2  256x  25x + 80 = 0 16x(5x  16)  5(5x  16) = 0 (5x  16)(16x  5) = 0 5x  16 = 0 or 16x  5 = 0 x = 165 or x 516Hence, the number is either 165 or 516.

Page No 453:

Question 6:

Divide 57 into two parts whose product is 782.

Answer:

Let the two parts be x and (57x).According to the question:   x(57  x) = 782 57x  x2 = 782 x2  57x + 782 = 0 x2  (34 + 23)x + 782 = 0 x2  34x  23x + 782 = 0 x(x  34)  23(x  34) = 0 (x  34)(x  23) = 0 x  34 = 0 or x  23 = 0 x = 34 or x 23 If x = 34, the two parts are 33 and 23.             {∵ (57  34) = 23} If x = 23, the two parts are 24 and 34.              {∵ (57  23) = 34} Hence, the two parts are 34 and 23.

Page No 453:

Question 7:

Find two consecutive positive multiples of 3 whose product is 270.

Answer:

Let the two consecutive multiples of 3 be 3x and 3(x+1).According to the question:3x × 3(x + 1) = 270 9x(x + 1) = 270 x(x + 1) = 30 x2 + x  30 = 0 x2 + (6  5)x  30 = 0 x2 + 6x  5x  30 = 0 x(x + 6)  5(x + 6) = 0 (x + 6)(x  5) = 0 x + 6 = 0 or x  5 = 0 x = 6 or x = 5If x=6, the two consecutive multiples of 3 are {3 × (6) = 18} and {3 × (6) + 3 = 15}.If x = 5, the two consecutive multiples of 3 are {3 × 5 = 15} and {3 × 5 + 3 = 18}Hence, the two consecutive positive multiples of 3 are (15, 18).

Page No 453:

Question 8:

Find two consecutive positive even integers, the sum of whose squares is 340.

Answer:

Let the two consecutive even positive integers be 2x and (2x + 2).According to the question:(2x)2 + (2x + 2)2 = 340 4x2 + (2x)2 + 2 × 2x × 2 + (2)2 = 340 4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 340 8x2 + 8x  336 = 0 8(x2 + x  42) = 0 x2 + x  42 = 0 x2 + (7  6)x  42 = 0 x2 + 7x  6x  42 = 0 x(x + 7)  6(x + 7) = 0 (x + 7)(x  6) = 0 x + 7 = 0 or x  6 = 0 x = 7 or x = 6 x = 6   ( x cannot be negative)Hence, the two consecutive numbers are {(2 × 6) = 12} and {(2 × 6 + 2) = 14}.

Page No 453:

Question 9:

The sum of a number and its squares is 634. Find the number.

Answer:

Let the required number be x.According to the question:x x2 = 634 4x + 4x2 = 63 4x2 + 4x  63 = 0 4x2 + (18  14)x  63 = 0 4x2 + 18x  14x  63 = 0 2x(2x + 9)  7(2x + 9) = 0 (2x + 9)(2x  7) = 0 2x + 9 = 0 or 2x  7 = 0 x = 92 or x = 72Hence, the number is either 92 or 72.



Page No 454:

Question 10:

The sum of a number and its positive square root is 625. Find the number.

Answer:

Let the required number be x.According to the question: x x = 625 25x + 25x = 6 25x + 25x  6 = 0 Let x be equal to y. 25y2 + 25y  6 = 0 25y2 + (30  5)y  6 = 0 25y2 + 30y  5y  6 = 0 5y(5y + 6)  1(5y + 6) = 0 (5y + 6)(5y  1) = 0  5y + 6 = 0 or 5y  1 = 0 y = 65 or y = 15 y = 15   ( y cannot be negative) x = 15 x = 125Hence, the required number is 125.

Page No 454:

Question 11:

Two natural numbers differ by 3 and their product is 504. Find the numbers.

Answer:

 Let the required numbers be x and (x+3).According to the question: x(x + 3) = 504 x2 + 3x = 504 x2 + 3x  504 = 0 x2 + (24  21)x  504 = 0 x2 + 24x  21x  504 = 0 x(x + 24)  21(x + 24) = 0 (x + 24)(x  21) = 0 x + 24 = 0 or x  21 = 0 x = 24 or x =  21If x 24, the numbers are 24 and {(24 + 3) 21}.If x = 21, the numbers are 21 and {(21 + 3) = 24}.Hence, the numbers are (24, 21) and (21, 24).

Page No 454:

Question 12:

Find two consecutive positive integers, the sum of whose squares is 365.

Answer:

Let the two positive integers be x and (x + 1).According to the question: x2 + (x + 1)2 = 365 x2 + x2 + 2x + 1 = 365 2x2 + 2x  364 = 0 2(x2 + x  182) = 0 x2 + x  182 = 0 x2 + (14  13)x  182 = 0 x2 + 14x  13x  182 = 0 x(x + 14)  13(x + 14) = 0 (x + 14)(x  13) = 0 x + 14 = 0 or x  13 = 0 x = 14 or x = 13 x = 13  ( x is a positive integer)Hence, the numbers are 13 and (13 + 1 = 14).

Page No 454:

Question 13:

The difference of the squares of two natural numbers is 45. The squares of the smaller number is four times the largest number. Find the numbers.

Answer:

Let the greater number be x and the smaller number be y.According to the question:x2  y2 = 45          ...(i)y2 = 4x                    ...(ii)From (i) and (ii), we get:x2  4x = 45 x2  4x  45 = 0 x2  (9  5)x  45 = 0 x2  9x + 5x  45 = 0 x(x  9) + 5(x  9) = 0 (x  9)(x + 5) = 0 x  9 = 0 or x + 5 = 0 x = 9 or x = 5 x = 9      ( x is a natural number)Putting the value of x in equation (ii), we get:y2 = 4 × 9 y2 = 36 y = 6Hence, the two numbers are 9 and 6.

Page No 454:

Question 14:

Find two natural numbers, the sum of whose squares is 25 times their sum and also equal to 50 times their difference.

Answer:

 Let the two natural numbers be x and  y.According to the question:x2 + y2 = 25(x + y) ...(i)x2 + y2 = 50(x  y)   ...(ii)From (i) and (ii), we get:25(x + y) = 50(x  y) x + y = 2(x  y) x + y = 2x  2y y + 2y = 2x  x 3y = x     ...(iii)  From (ii) and (iii), we get:(3y)2 + y2 = 50(3y  y) 9y2 + y2 = 100y 10y2 = 100y y = 10 From (iii), we have:3 × 10 = x 30 = x Hence, the two natural numbers are 30 and 10.

Page No 454:

Question 15:

Divide 16 into two parts such that twice the squares of the larger part exceeds the square of the smaller part by 164.

Answer:

Let the larger and smaller parts be x and y, respectively.According to the question:x y = 16 ...(i)2x2 = y2 + 164 ...(ii)From (i), we get: x = 16  y ...(iii) From (ii) and (iii), we get:2(16  y)2 = y2 + 164 2(256  32y + y2) = y2 + 164 512  64y + 2y2 = y2 + 164 y2  64y + 348 = 0 y2  (58 + 6)y + 348 = 0 y2  58y  6y + 348 = 0  y(y  58)  6(y  58) = 0 (y  58)(y  6) = 0 y  58 = 0 or y  6 = 0 y = 6   ( y < 16)Putting the value of y in equation (iii), we get:  x = 16  6 = 10Hence, the two natural numbers are 6 and 10.

Page No 454:

Question 16:

The denominator of a fraction is 3 more than its numerator. The sum of the fraction and its reciprocal is 2910. Find the fraction.

Answer:

 Let the numerator be x. Denominator = x + 3 Original number = xx + 3 According to the question:xx + 3 +  1(xx + 3) =  2910 xx + 3 + x + 3x = 2910 x2 + (x + 3)2x(x + 3) = 2910 x2 + x2 + 6x + 9x2 + 3x = 2910 2x2 + 6x + 9x2 + 3x = 2910 29x2 + 87x = 20x2 + 60x + 90 9x2 + 27x  90 = 0 9x2 + 3x - 10 = 0x2 + 3x - 10 = 0x2 + 5x - 2x - 10 = 0xx+5-2x+5 = 0x-2x+5 = 0x-2 = 0  or  x + 5 = 0x=2 or x = -5rejectedSo, numerator = x = 2denominator = x + 3 = 2 + 3 = 5So, required fraction = 25

Page No 454:

Question 17:

A two-digit number is 4 times the sum of its digits and twice the product of its digit. Find the number.

Answer:

 Let the digits at units and tens places be x and y, respectively. Original number = 10y + x According to the question:10y + x = 4(x + y) 10y + x = 4x + 4y 3x  6y = 0 3x = 6y x = 2y ....(i) Also,10y x = 2xy 10y + 2y = 2.2y.y           [ From (i)] 12y = 4y2 y = 3 From (i), we get:x = 2 × 3 =  6 Original number = 10 × 3 + 6 = 36

Page No 454:

Question 18:

A two-digit number is such that the product of its digits is 14. If 45 is added to the number, the digits interchange their places. Find the number.

Answer:

Let the digits at units and tens places be x and y, respectively. ∴ xy = 14 ⇒ y 14x              ...(i) According to the question:(10y + x) + 45 = 10x + y 9y  9x =  45 y  x =  5                                      ...(ii) From (i) and (ii), we get:14x  x =  5 14  x2x =  5 14  x2 =  5x x2  5x  14 = 0 x2  (7  2)x  14 = 0 x2  7x + 2x  14 = 0 x(x  7) + 2(x  7) = 0 (x  7)(x + 2) = 0 x  7 = 0 or x + 2 = 0 x = 7 or x =  2 x = 7   ( the digit cannot be negative) Putting x = 7 in equation (i), we get:y = 2∴ Required number = 10 × 2 + 7 = 27

Page No 454:

Question 19:

Out of a number of saras birds, one-fourth of the number are moving about in lots, 19th coupled with 14th as well as 7 times the square root of the number move on a hill, 56 birds remain in vakula trees. What is the total number of birds?

Answer:

Let the total number of birds be x2.According to the question:x24 + (x29 + x24) + 7x + 56 = x2 9x2 + 4x2 + 9x2 + 252x + 201636 = x2 22x2 + 252x + 2016 = 36x2 14x2  252x  2016 = 0 x2  18x  144 = 0 x2  24x + 6x  144 = 0 x(x  24) + 6(x  24) = 0 (x  24)(x + 6) = 0 x = 24 or x =  6 x = 24       ( Number of birds cannot be negative) Number of birds = x2 = 576

Page No 454:

Question 20:

A teacher on attempting to arrange the students for mass drill in the form of a solid square found that 24 students were left. When he increased the size of the square by one student, he found that he was short of 25 students. Find the number of students.

Answer:

Let there be x rows.Then, the number of students in each row will also be x. Total number of students = (x2 + 24)According to the question:(x + 1)2  25 = x2 + 24 x2 + 2x + 1  25  x2  24 =  0 2x  48 = 0 2x = 48 x = 24 Total number of students = 242 + 24 = 576 + 24 = 600

Page No 454:

Question 21:

300 apples are distributed equally among a certain number of students. Had there been 10 more students, each would have received one apple less. Find the number of student.

Answer:

Let the total number of students be x.According to the question:300x  300x + 10 = 1300(x + 10)  300xx(x + 10) = 1 300x + 3000  300xx2 + 10x = 1 3000 = x2 + 10x x2 + 10x  3000 = 0 x2 + (60  50)x  3000 = 0 x2 + 60x  50x  3000 = 0 x(x + 60)  50(x + 60) = 0 (x + 60)(x  50) = 0 x = 50 or x =  60x cannot be negative; therefore, the total number of students is 50.

Page No 454:

Question 22:

A man busy a number of pens for Rs 80. If he had bought 4 more pens for the same amount, each pen would have cost him Rs 1 less. How many pens did he buy?

Answer:

Let the total number of pens be x.According to the question:80x  80x + 4 = 1 80(x + 4)  80xx(x + 4) = 1 80x + 320  80xx2 + 4x = 1 320 = x2 + 4x x2 + 4x  320 = 0 x2 + (20  16)x  320 = 0 x2 + 20x  16x  320 = 0 x(x + 20)  16(x + 20) = 0 (x + 20)(x  16) = 0 x = 20 or x = 16The total number of pens cannot be negative; therefore, the total number of pens is 16.



Page No 455:

Question 23:

In a class test, the sum of Kamal's marks in Mathematics and English is 40. Had he got 3 marks more in Mathematics and 4 marks less in English, the product of the marks would have been 360. Find his marks in two subjects separately.

Answer:

Let the marks of Kamal in mathematics and english be x and y, respectively.According to the question:x + y = 40         ...(i) Also,(x + 3)(y  4) = 360 (x + 3)(40  x  4) = 360    [From(i)] (x + 3)(36  x) = 360 36x  x2 + 108  3x = 360 33x  x2  252 = 0 x2 + 33x  252 = 0 x2  33x + 252 = 0 x2  (21 + 12)x + 252 = 0 x2  21x  12x + 252 = 0 x(x  21)  12(x  21) = 0 (x  21)(x  12) = 0 x = 21 or x = 12If x = 21, y = 40  21 = 19Thus, Kamal scored 21 and 19 marks in mathematics and english, respectively.If x = 12, y = 40  12 = 28Thus, Kamal scored 12 and 28 marks in mathematics and english, respectively.

Page No 455:

Question 24:

A takes 10 days than the time taken by B to finish a piece of work. If both A and B together can finish the work in 12 days, find the time taken by B to finish the work.

Answer:

Let B takes x days to complete the work. Therefore, A will take (x  10) days. 1x + 1(x  10) = 112 (x  10) + xx(x  10) = 112 2x  10x2  10x = 112 x2  10x = 12(2x  10) x2  10x = 24x  120 x2  34x + 120 = 0 x2  (30 + 4)x + 120 = 0 x2  30x  4x + 120 = 0 x(x  30)  4(x  30) = 0 (x  30)(x  4) = 0 x = 30 or x = 4Number of days to complete the work by B cannot be less than that by A; therefore, we get:x = 30Thus, B completes the work in 30 days.

Page No 455:

Question 25:

A passenger train takes 2 hours less for a journey of 300 km if its speed is increased by 5 km/hr from its usual speed. Find its usual speed.

Answer:

Let the usual speed be x km/hr.According to the question:300x  300(x + 5) = 2 300(x + 5)  300xx(x + 5) = 2 300x + 1500  300xx2 + 5x = 2 1500 = 2(x2 + 5x) 1500 = 2x2 + 10x x2 + 5x  750 = 0 x2 + (30  25)x  750 = 0 x2 + 30x  25x  750 = 0 x(x + 30)  25(x + 30) = 0 (x + 30)(x  25) = 0 x = 30 or x = 25The usual speed cannot be negative; therefore, the speed is 25 km/hr.

Page No 455:

Question 26:

A train travels a distance of 360 km at a uniform speed. If the speed of he train is increased by 5 km an hour, the journey would have taken 1 hour less. Find the original speed of the train.

Answer:

Let the original speed of the train be x km/hrAccording to the question:360x  360(x + 5) = 1 360(x + 5)  360xx(x + 5) = 1 360x + 1800  360xx2 + 5x = 1 1800 = x2 + 5x x2 + 5x  1800 = 0 x2 + (45  40)x  1800 = 0 x2 + 45x  40x  1800 = 0 x(x + 45)  40(x + 45) = 0 (x + 45)(x  40) = 0 x = 45 or x = 40The speed of train cannot be negative; therefore, the speed is 40 km/hr.

Page No 455:

Question 27:

A train covers a distance of 90 km at a uniform speed. Had the speed been 15 km/hr more, it would have taken 30 minutes less for the journey. Find the original speed of the train.

Answer:

Let the original speed of the train be x km/hr.According to the question:90x  90(x + 15) = 12 90(x + 15)  90xx(x + 15) = 12 90x + 1350  90xx2 + 15x = 12 1350x2 + 15x = 12 2700 = x2 + 15x x2 + (60  45)x  2700 = 0 x2 + 60x  45x  2700 = 0 x(x + 60)  45(x + 60) = 0 (x + 60)(x  45) = 0 x =  60 or x = 45 x cannot be negative; therefore, the original speed of train is 45 km/hr.

Page No 455:

Question 28:

The distance between Mumbai and Pune is 192 km. Travelling by the Deccan Queen, it takes 48 minutes less than another train. Calculate the speed of the Deccan Queen if the speed of the two trains differ by 20 km/hr.

Answer:

Let the speed of the Deccan Queen be x km/hrAccording to the question:Speed of another train = (x - 20) km/h192x  20  192x = 4860 4x  20  4x = 160 4x  4(x  20)(x  20)x = 160 4x  4x + 80x2  20x = 160 80x2  20x = 160 x2  20x = 4800 x2  20x  4800 = 0 x2  (80  60)x  4800 = 0 x2  80x + 60x  4800 = 0 x(x  80) + 60(x  80) = 0 (x  80)(x + 60) =  0 x = 80 or x = 60 The value of x cannot be negative; therefore, the original speed of Deccan Queen is 80 km/hr.

Page No 455:

Question 29:

A motorboat whose speed is 9 km/hr in still water, goes 15 km downstream and comes back in a total time of 3 hours 45 minutes. Find the speed of the stream.

Answer:

Let the speed of the stream be x km/hr. Downstream speed= (9 + x) km/hrUpstream speed= (9  x) km/hrDistance covered downstream = Distance covered upstream= 15 kmTotal time taken = 3 hours 45 minutes =  3+4560 minutes = 22560 minutes = 154minutes15(9 + x) + 15(9  x) = 154 1(9 + x) + 1(9  x) = 14 9  x + 9 + x(9 + x)(9  x) = 14 1892  x2 = 14 1881  x2 = 14 81  x2 = 72 81  x2  72 = 0 x2 + 9 = 0 x2 = 9 x = 3 or x = 3The value of x cannot be negative; therefore, the speed of the stream is 3 km/hr.

Page No 455:

Question 30:

A motor boat whose speed in still water is 18 km/hr, takes 1 hour more to go 24 km upstream than o return to the same spot. Find the speed of the stream.

Answer:

Let the speed of the stream be x km/hr.Given:Speed of the boat = 18 km/hr Speed downstream = (18 + x) km/hr     Speed upstream = (18  x) km/hr 24(18  x)  24(18 + x) = 1 1(18  x)  1(18 + x) = 124 18 + x  18 + x(18  x)(18 + x) = 124 2x182  x2 = 124 324  x2 = 48x 324  x2  48x = 0 x2 + 48x  324 = 0 x2 + (54  6)x  324 = 0 x2 + 54x  6x  324 = 0 x(x + 54)  6(x + 54) = 0 (x + 54)(x  6) = 0 x = 54 or x = 6The value of x cannot be negative; thereore, the speed of the stream is 6 km/hr.

Page No 455:

Question 31:

The speed of a boat in still water is 8 km/hr. It can go 15 km upstream and 22 km downstream in 5 hours. Find the speed of the stream.

Answer:

Speed of the boat in still water = 8 km/hrLet the speed of the stream be x km/hr.∴  Speed upstream = (8  x) km/hr     Speed downstream = (8 + x) km/hrTime taken to go 22 km downstream = 22(8 + x) hrTime taken to go 15 km upstream = 15(8  x) hrAccording to the question: 22(8 + x) + 15(8  x) = 5 22(8 + x) + 15(8  x)  5 = 0 22(8  x) + 15(8 + x)  5(8  x)(8 + x)(8  x)(8 + x) = 0 176  22x + 120 + 15x  320 + 5x2 = 0 5x2  7x  24 = 0 5x2  (15  8)x  24 = 0 5x2  15x + 8x  24 = 0 5x(x  3)  8(x  3) = 0 (x  3)(5x  8) = 0 x  3 = 0 or 5x  8 = 0 x = 3 or x 85 x = 3      ( Speed cannot be a fraction) Speed of the stream = 3 km/hr

Page No 455:

Question 32:

A sailor can row a boat 8 km downstream and return back to the starting point in 1 hour 40 minutes. If the speed of the stream is 2 kmph, find the speed of the boat in still water.

Answer:

Let the speed of the boat in still water be x km/hr.It is given that the speed of the stream is 2 km/hr. Speed upstream = (x  2) km/hr     Speed downstream = (x + 2) km/hrTime taken to go 8 km downstream = 8(x + 2) hrTime taken to go 8 km upstream = 8(x  2) hr 8(x + 2) + 8(x  2) = 14060 8(x + 2) + 8(x  2) = 10060 8(x  2) + 8(x + 2)(x  2)(x + 2) = 53 16xx2  4 = 53 3 × 16x = 5(x2  4) 48x = 5x2  20 5x2  48x  20 = 0 5x2  (50  2)x  20 = 0 5x2  50x + 2x  20 = 0 5x(x  10) + 2(x  10) = 0 (x  10)(5x + 2) = 0 x  10 = 0 or 5x + 2 = 0 x = 10 or x 25 x = 10    ( Speed cannot be a negative fraction) Speed of the boat in still water = 10 km/hr

Page No 455:

Question 33:

Two pipes running together can fill a cistern in 3113 minutes. If one pipe takes 3 minutes more than the other to fill it, find the time in which each pipe would fill the cistern.

Answer:

Let one pipe fills the cistern in x mins.Therefore, the other pipe will fill the cistern in (x + 3) mins.Time taken by both, running together, to fill the cistern = 3113 mins = 4013 minsPart filled by one pipe in 1 min = 1xPart filled by the other pipe in 1 min = 1x + 3Part filled by both pipes, running together, in 1 min = 1x + 1x + 3 1x + 1x + 3 = 14013 (x + 3) + xx(x + 3) = 1340 2x + 3x2 + 3x = 1340 13x2 + 39x = 80x + 120 13x2  41x  120 = 0 13x2  (65  24)x  120 = 0 13x2  65x + 24x  120 = 0 13x(x  5) + 24(x  5) = 0 (x  5)(13x + 24) = 0 x  5 = 0 or 13x + 24 = 0⇒ x = 5 or x 2413 x = 5    ( Speed cannot be a negative fraction)Thus, one pipe will take 5 mins and the other will take {(5 + 3) = 8} mins to fill the cistern.

Page No 455:

Question 34:

One year ago, a man was 8 times old as his son. Now his age is equal to the square of his son's age. Find their present ages.

Answer:

Let the present ages of the father and his son be x years and y years, respectively.According to the question:x  1 = 8(y  1) x  1 = 8y  8 x = 8y  7         ...(i)Also,x = y2            ...(ii)From (i) and (ii), we get:8y  7 = y2 y2  8y + 7 = 0⇒ y2  (7 + 1)y + 7 = 0⇒ y2  7y  y + 7 = 0⇒ y(y  7)  1(y  7) = 0⇒ (y  7)(y  1) = 0⇒ y  7 = 0 or y  1 = 0⇒ y = 7 or y = 1⇒ y = 7      ( y > 1)Putting the value of y in equation (i), we get:x = 49Thus, the present ages of the father and his son are 49 years and 7 years, respectively.



Page No 456:

Question 35:

The sum of the ages of a man and his son is 45 years. Five years ago, the product of their ages was four times the man's age at that time. Find their present ages.

Answer:

Let the present ages of the man and his son be x years and y years, respectively.According to the question:x + y = 45 x = 45  y        ...(i)Also,(x  5)(y  5) = 4(x  5)      ...(ii)From (i) and (ii), we get:(45  y  5)(y  5) = 4(45  y  5) (40  y)(y  5) = 4(40  y) 40y  200  y2 + 5y = 160  4y y2  49y + 360 = 0 y2  (40 + 9)y + 360 = 0 y2  40y  9y + 360 = 0 y(y  40)  9(y  40) = 0 (y  9)(y  40) = 0 y  9 = 0     [ x y = 45, x y] y = 9 Putting the value of y in equation(i), we get:x = 36Hence, the present ages of the man and his son are 36 years and 9 years, respectively.

Page No 456:

Question 36:

The product of Tanvy's age (in years) 5 years ago and her age 8 years later is 30. Find her present age.

Answer:

Let the present age of Meena be x years. According to the question:(x  5)(x + 8) = 30 x2 + 3x  40 = 30 x2 + 3x  70 = 0 x2 + (10  7)x  70 = 0 x2 + 10x  7x  70 = 0 x(x + 10)  7(x + 10) = 0 (x + 10)(x  7) = 0 x + 10 = 0 or  x  7 = 0 x = 10 or x = 7 x = 7      (  Age cannot be negative)Thus, the present age of Meena is 7 years.

Page No 456:

Question 37:

The sum of the ages of a boy and his brother is 25 years, and the product of their ages in years is 126. Find their ages.

Answer:

Let the present ages of the boy and his brother be x years and (25  x) years.According to the question:x(25  x) = 126 25x  x2 = 126 x2  (18 + 7)x + 126 = 0 x2  18x  7x + 126 = 0 x(x  18)  7(x  18) = 0 (x  18)(x  7) = 0 x  18 = 0 or  x  7 = 0 x = 18 or x = 7 x = 18        ( Present age of the boy cannot be less than his brother)If x=18, we have:Present ages of the boy = 18 yearsPresent age of his brother = (2518) years = 7 yearsThus, the present ages of the boy and his brother are 18 years and 7 years, respectively.

Page No 456:

Question 38:

A rectangular field is 16 m long and 10 m wide. There is a path of uniform width all around it, having an area of 120 m2. Find the width of the path.

Answer:

Let the width of the path be x m.  Length of the field including the path = 16 + x + x = 16 + 2xBreadth of the field including the path = 10 + x + x = 10 + 2xNow,(Area of the field including path)  (Area of the field excluding path) = Area of the path (16 + 2x)(10 + 2x)  (16 × 10) = 120 160 + 32x + 20x + 4x2  160 = 120 4x2 + 52x  120 = 0 x2 + 13x  30 = 0 x2 + (15  2)x + 30 = 0 x2 + 15x  2x + 30 = 0 x(x + 15)  2(x + 15) = 0 (x  2)(x + 15) = 0 x  2 = 0 or x + 15 = 0 x = 2 or x = 15 x = 2    ( Width cannot be negative)Thus, the width of the path is 2 m.

Page No 456:

Question 39:

The length of a rectangle is twice its breadth and its area is 288 cm2. Find the dimensions of the rectangle.

Answer:

Let the length and breadth of the rectangle be 2x m and x m, respectively.According to the question:2x × x = 288 2x2 = 288 x2 = 144 x = 12 or x 12 x = 12        ( x cannot be negative) Length = 2 × 12 = 24 m     Breadth = 12 m

Page No 456:

Question 40:

The length of a rectangular field is three times its breadth. If the area of the field by 147 sq metres, find the length of the field.

Answer:

Let the length and breadth of the rectangle be 3x m and x m, respectively.According to the question:3x × x = 147 3x2 = 147 x2 = 49 x = 7 or x 7 x = 7     (x cannot be negative) Length = 3 × 7 = 21m      Breadth = 7 m

Page No 456:

Question 41:

The length of a hall is 3 metres more than its breadth. If the area of the hall is 238 square metres, calculate its length and breadth.

Answer:

Let the breadth of the rectangular hall be x metre.Therefore, the length of the rectangular hall will be (x + 3)metre.According to the question:x(x + 3) = 238 x2 + 3x = 238 x2 + 3x  238 = 0 x2 + (17  14)x  238 = 0 x2 + 17x  14x  238 = 0 x(x + 17)  14(x + 17) = 0 (x + 17)(x  14) = 0 x = 17 or x = 14But the value x cannot be negative.Therefore, the breadth of the hall is 14 metre and the length is 17 metre.

Page No 456:

Question 42:

The perimeter of a rectangular plot is 62 m and its area is 228 sq metres. Find the dimensions of the plot.

Answer:

Let the length and breadth of the rectangular plot be x and y meter, respectively.Therefore, we have:Perimeter = 2(x + y) = 62               ...(i) andArea = xy = 228 y = 228xPutting the value of y in (i), we get⇒ 2(x + 228x) = 62 x + 228x = 31 x2 + 228x = 31 x2 + 228 = 31x x2  31x + 228 = 0 x2  (19 + 12)x + 228 = 0 x2  19x  12x + 228 = 0 x(x  19)  12(x  19) = 0 (x  19)(x  12) = 0 x = 19 or x = 12If x=19 m, y=22819 = 12 mTherefore, the length and breadth of the plot are 19 m and 12 m, respectively.

Page No 456:

Question 43:

The length of a rectangle is thrice as long as the side of a square. The side of the square is 4 cm more than width of a the rectangle. Their areas being equal, find their dimensions.

Answer:

Let the breadth of rectangle be x cm.According to the question:Side of the square = (x + 4) cm Length of the rectangle = {3(x + 4)} cmIt is given that the areas of the rectangle and square are same. 3(x + 4) × x = (x + 4)2 3x2 + 12x = (x + 4)2 3x2 + 12x = x2 + 8x + 16 2x2 + 4x  16 = 0 x2 + 2x  8 = 0 x2 + (4  2)x  8 = 0 x2 + 4x  2x  8 = 0 x(x + 4)  2(x + 4) = 0 (x + 4)(x  2) = 0 x = 4 or x = 2 x = 2    ( The value of x cannot be negative)Thus, the breadth of the rectangle is 2 cm and length is {3(2 + 4) =18} cm. Also, the side of the square is 6 cm.

Page No 456:

Question 44:

A farmer prepares a rectangular vegetable garden of area 180 sq metres. With 39 metres of barbed wire, he can fence the three sides of the garden, leaving one of the longer sides unfenced. Find the dimensions of the garden.

Answer:

Let the length and breadth of the rectangular garden be x and y metre, respectively.Given:xy = 180 sq m       ...(i)   and2y + x = 39 x = 39  2yPutting the value of x in (i), we get:(39  2y)y = 180 39y  2y2 = 180 39y  2y2  180 = 0 2y2  39y + 180 = 0 2y2  (24 + 15)y + 180 = 0 2y2  24y  15y + 180 = 0 2y(y  12)  15(y  12) = 0 (y  12)(2y  15) = 0 y = 12 or y = 152 = 7.5If y = 12, x = 39  24 = 15If y = 7.5, x = 39  15 = 24Thus, the length and breadth of the garden are (15 m and 12 m) or (24 m and 7.5 m), respectively.

Page No 456:

Question 45:

The area of a right-triangle is  600 cm2. If the base of the triangle exceeds the altitude by 10 cm, find the dimensions of the triangle.

Answer:

Let the altitude of the triangle be x cm.
Therefore, the base of the triangle will be (+ 10) cm.
Area of triangle = 12 x (x + 10) = 600 x(x + 10) = 1200 x2 + 10x  1200 = 0 x2 + (40  30)x  1200 = 0 x2 + 40x  30x  1200 = 0 x(x + 40)  30(x + 40) = 0 (x + 40)(x  30) = 0 x = 40 or x = 30 x = 30   [ Altitude cannot be negative]Thus, the altitude and base of the triangle are 30 cm and (30 + 10 = 40) cm, respectively. Hypotenuse2 = Altitude2 + Base2 Hypotenuse2 = 302 + 402 Hypotenuse2 = 900 + 1600 = 2500 Hypotenuse2 = 502 Hypotenuse = 50Thus, the dimensions of the triangle are: ,Hypotenuse = 50 cmAltitude = 30 cmBase = 40 cm

Page No 456:

Question 46:

The area of a right-angled triangle is 96 sq metres. If the base is three times the altitude, find the base.

Answer:

Let the altitude of the triangle be x m.
Therefore, the base will be 3x m.

Area of a triangle = 12 × Base × Altitude

 12 × 3x × x = 96  ( Area = 96 sq m) x22 = 32 x2 = 64 x = ±8


The value of cannot be negative.
Therefore, the altitude and base of the triangle are 8 m and (3 × 8 = 24 m), respectively.

Page No 456:

Question 47:

The area of a right-angled triangle is 165 sq metres. Determine its base and altitude if the latter exceeds the former by 7 metres.

Answer:

Let the base be x m.
Therefore, the altitude will be x + 7 m.

Area of a triangle = 12 × Base × Altitude

 12 × x × (x + 7) = 165 x2 + 7x = 330 x2 + 7x  330 = 0 x2 + (22  15)x  330 = 0 x2 + 22x  15x  330 = 0 x(x + 22)  15(x + 22) = 0 (x + 22)(x  15) = 0 x = 22 or x = 15

The value of x cannot be negative.
Therefore, the base is 15 m and the altitude is {(15 + 7) = 22 m}.

Page No 456:

Question 48:

The hypotenuse of a right-angled triangle is 20 metres. If the difference between the length of the other sides be 4 metres, find the other sides.

Answer:

Let one side of the right-angled triangle be x m and the other side be x + 4 m.
On applying Pythagoras theorem, we have:

202 = (x + 4)2 + x2 400 = x2 + 8x + 16 + x2 2x2 + 8x  384 = 0 x2 + 4x  192 = 0 x2 + (16  12)x  192 = 0 x2 + 16x  12x  192 = 0 x(x + 16)  12(x + 16) = 0 (x + 16)(x  12) = 0 x = 16 or x = 12

The value of x cannot be negative.
Therefore, the base is 12 m and the other side is {(12 + 4) = 16 m}.

Page No 456:

Question 49:

The length of the hypotenuse of a right-angled triangle exceeds the length of the base by 2 cm and exceeds twice the length of the altitude by 1 cm. Find the length of each side of the triangle.

Answer:

Let the base and altitude of the right-angled triangle be x and y cm, respectively.
Therefore, the hypotenuse will be (x + 2) cm.
 (x + 2)2 = y2 + x2           ...(i)Again, the hypotenuse exceeds twice the length of the altitude by 1 cm. h = (2y + 1) x + 2 = 2y + 1 x = 2y  1Putting the value of x in (i), we get:(2y  1 +  2)2 = y2 + (2y  1)2 (2y + 1)2 = y2 + 4y2  4y + 1 4y2 + 4y + 1 = 5y2  4y + 1 y2 + 8y = 0 y2  8y = 0 y(y   8) = 0 y = 8 cm x = 16  1 = 15 cm h = 16 + 1 = 17 cm

Thus, the base, altitude and hypotenuse of the triangle are 15 cm, 8 cm and 17 cm, respectively.



Page No 457:

Question 50:

The hypotenuse of a right-angled triangle is 1 metre less than twice the shortest side. If the third is 1 metre more than the shortest side, find the sides of the triangle.

Answer:

Let the shortest side be x m.
Therefore, according to the question:
Hypotenuse = 2x - 1
Third side = x + 1 m
On applying Pythagoras theorem, we get:

(2x  1)2 = (x + 1)2 + x2 4x2  4x + 1 = x2 + 2x + 1 + x2 2x2  6x = 0 2x(x  3) = 0 x = 0 or x = 3

The length of the side cannot be 0; therefore, the shortest side is 3 m.
Therefore,
Hypotenuse = 2 × 3 - 1 = 5 m
Third side = (3 + 1) = 4 m

Page No 457:

Question 51:

The sum of the areas of two squares is 640 m2. If the difference in their perimeters be 64 m, find the sides of the two squares.

Answer:

Let the length of the side of the first and the second square be x and y, respectively.

According to the question:x2 + y2 = 640             ...(i)Also,4x  4y = 64 x  y = 16 x = 16 + y

Putting the value of x in (i), we get:

x2 + y2 = 640 (16 + y)2 + y2 = 640 256 + 32y + y2 + y2 = 640 2y2 + 32y  384 = 0 y2 + 16y  192 = 0 y2 + (24  8)y  192 = 0 y2 + 24y  8y  192 = 0 y(y + 24)  8(y + 24) = 0 (y + 24)(y  8) = 0 y = 24 or y = 8 y = 8    ( Side cannot be negative) x = 16 + y = 16 + 8 = 24 mThus, the sides of the squares are 8 m and 24 m.

Page No 457:

Question 52:

The difference of squares of two numbers is 88. If the larger number is 5 less than twice the smaller number, then find the two numbers.

Answer:

Let the smaller number be x. Larger number = (2x  5)Also, (2x  5)2  x2 = 88 4x2  20x + 25  x2 = 88 3x2  20x  63 = 0 3x2  (27  7)x  63 = 0 3x2  27x + 7x  63 = 0 3x(x  9) + 7(x  9) = 0 (x  9)(3x + 7) = 0 x = 9 or x = 73The number cannot be a fraction; therefore, we have: Smaller number = 9Larger number = (2 × 9 - 5) = 13

Page No 457:

Question 53:

Three consecutive positive integers are such that the sum of the square of the first and the product of the other two is 46, find the integers.

Answer:

Let the required integers be x, (x+1) and (x+2).According to the question:x2 + (x + 1)(x + 2) = 46 x2 + x2 + 2x + x + 2 = 46 2x2 + 3x  44 = 0 2x2 + (11  8)x  44 = 0 2x2 + 11x  8x  44 = 0 x(2x + 11)  4(2x + 11) = 0 (2x + 11)(x  4) = 0 x = 112 or x = 4The value of x cannot be negative;therefore, we have:x = 4Thus, the consecutive integers are 4, 5 and 6.



Page No 462:

Question 1:

Which of the following is a quadratic equation?
(a) x2-3x+2=0
(b) x+1x=x2
(c) x2+1x2=5
(d) 2x2  - 5x=(x-1)2

Answer:

(d) 2x2 -  5x = (x - 1)2

A quadratic equation is the equation with degree 2. 2x2  5x = (x  1)2 2x2  5x = x2  2x + 1 2x2  5x  x2 + 2x  1 = 0 x2  3x  1 = 0, which is a quadratic equation

Page No 462:

Question 2:

Which of the following is a quadratic equation?
(a) (x2+1)=(2-x)2+3
(b) x3-x2=(x-1)3
(c) 2x2+3=(5+x)(2x-3)
(d) None of these

Answer:

(b) x3 - x2 = (x - 1)3

∵ x3  x2 = (x  1)3⇒ x3  x2 = x3  3x2 + 3x  1⇒ 2x2  3x + 1 = 0, which is a quadratic equation



Page No 463:

Question 3:

Which of the following is not a quadratic equation?
(a) 3x-x2=x2+5
(b) (x+2)2=2(x2-5)
(c) (2x+3)2=2x2+6
(d) (x-1)2=3x2+x-2

Answer:

(c) (2x + 3)2 = 2x2 + 6

∵  (2x + 3)2 = 2x2 + 6⇒ 2x2 + 9 + 62x = 2x2 + 6⇒ 62x + 3 = 0, which is not a quadratic equation

Page No 463:

Question 4:

If x = 3 is a solution of the equation 3x2+(k-1)x+9=0, then k = ?
(a) 11
(b) −11
(c) 13
(d) −13

Answer:

(b) −11
It is given that x=3 is a solution of 3x2+(k1)x+9=0; therefore, we have:332 + k - 1 × 3 + 9 = 0 27 + 3(k  1) + 9 = 0 3(k  1) = 36 (k  1) = 12 k = 11

Page No 463:

Question 5:

The sum of the roots of the equation x2-6x+2=0 is
(a) 2
(b) −2
(c) 6
(d) −6

Answer:

(c) 6
Sum of the roots of the equation x2  6x + 2 = 0 is α β ba = (6)1 = 6 , where α and β are the roots of the equation.

Page No 463:

Question 6:

If the product of the roots of the equation x2-3x+k=10 is −2, then the value of k is
(a) −2
(b) −8
(c)  8
(d) 12

Answer:

(c)  8
It is given that the product of the roots of the equation x2  3x + k = 10 is 2.The equation can be rewritten as:x2 - 3x + (k - 10) = 0Product of the roots of a quadratic equation = caca = 2 (k  10)1 = 2 k = 8

Page No 463:

Question 7:

If one root of the equation 2x2+ax+6=0 is 2, then a = ?
(a) 7
(b) −7
(c) 72
(d) -72

Answer:

(b) −7
It is given that one root of the equation 2x2 ax + 6 = 0 is 2. × 22 + a × 2 + 6 = 0 2a + 14 = 0 a = 7

Page No 463:

Question 8:

The ratio of the sum and product of the roots of the equation 7x2-12x+18=0
(a) 7 : 12
(b) 7 : 18
(c) 2 : 3
(d) 3 : 2

Answer:

(c) 2 : 3

Given:7x2  12x + 18 = 0 α + β = 127 and αβ = 187, where α and β are the roots of the equation Ratio of the sum and product of the roots = 127 : 187= 12 : 18= 2  : 3

Page No 463:

Question 9:

The roots of the equation 43x2+5x-23=0 are
(a) 233,-34
(b) -233,34
(c) 33,-34
(d) -33,34

Answer:

(b) -233, 34

Given: 43x2 + 5x  23 = 0 43x2 + 8x  3x  23 = 0⇒ 4x(3x + 2)  3(3x + 2) = 0⇒ (3x + 2)(4x  3) = 0⇒ x = 34 or x = 23 = 23 × 33 = 233Thus, the roots of the equation are 34 and 233.

Page No 463:

Question 10:

The root of the equation 2x2+7x+52=0 are
(a) 2,522
(b) -2,522
(c) 2,-522
(d) -2,-522

Answer:

(d) -2, -522

Given:2x2 + 7x + 52 = 0 2x2 + 5x + 2x + 52 = 0⇒ x(2x + 5) + 2(2x + 5) = 0 (2x + 5)(x + 2) = 0⇒ x = 52 52 × 22 522 and x = 2

Page No 463:

Question 11:

The roots of the equation 3x+2+3-x = 10 are
(a) 2, 0
(b) −2, 0
(c) 3, −1
(d) −3, 1

Answer:

(b) −2, 0

Given: 3x+2 + 3x = 10Let 3x be equal to y. Then, the equation can be rewritten as: 32 × 3x + 13x = 10 9y + 1y = 10⇒ 9y2 + 1y = 10⇒ 9y2  10y + 1 = 0⇒ 9y2  9y  y + 1 = 0 9y(y  1)  (y  1) = 0⇒ (y  1)(9y  1) = 0⇒ y = 1 or y = 19 = 132⇒ 3x = 30 or 3x = 32⇒ x = 0 or x = 2

Page No 463:

Question 12:

The roots of the equation 3x2-26x+2=0 are
(a) 32,32
(b) 23,23
(c) 13,13
(d) 23,23

Answer:

(b) 23, 23

Given:3x2  26x + 2 = 0We know that:x = b ± b2  4ac2a26 ± (26)2  4 × 3 × 22 × 326 ± 24  24626 ± 06 x = 266 = 63 = 3 × 23 = 23Therefore, the roots are 23 and 23.

Page No 463:

Question 13:

The roots of the equation xx+1+x+1x=3415 are
(a) 52,32
(b) 52,-32
(c) -52,32
(d) -52,-32

Answer:

(c) -52, 32

Given:xx + 1 + x + 1x = 3415⇒ x2 + (x + 1)2(x + 1)x = 3415⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 34(x2 + x)15⇒ 15(2x2 + 2x + 1) = 34x2 + 34x 30x2 + 30x + 15 = 34x2 + 34x 4x2 + 4x  15 = 0⇒ 4x2 + 10x  6x  15 = 0 2x(2x + 5)  3(2x + 5) = 0 (2x + 5)(2x  3) = 0⇒ x = 52 or x = 32Thus, the roots are 52 and 32.

Page No 463:

Question 14:

The roots of the equation x1-x+1-xx=216 are
(a) 913,713
(b) 913,413
(c) 713,413
(d) none of these

Answer:

(b) 913, 413

Given:x1  x + 1  xx = 216Let x(1  x) be equal to y2.Then, the equation becomes:y + 1y =136⇒ y2 + 1y= 136 6y2  13y + 6 = 0 6y2  9y  4y + 6 = 0 3y(2y  3)  2(2y  3) = 0 (2y  3)(3y  2) = 0 y = 32 or y = 23 x1x = 322 or x1  x = 232 x1  x 94 or x1  x = 49 4x = 9  9x or  9x = 4  4x 13x = 9  or 13x = 4 x = 913 or x = 413Therefore, the required roots are 913 and 413.



Page No 464:

Question 15:

The roots of x+4x-4+x-4x+4=103 are
(a) ±4
(b) ±6
(c) ±8
(d) 2±3

Answer:

(c) ±8
Given: x + 4x  4 + x  4x + 4 = 103 (x + 4)2 + (x  4)2(x  4)(x + 4) = 103 x2 + 8x + 16 + x2  8x + 16x2  16 = 103 3(2x2 + 32) = 10(x2  16) 6x2 + 96 = 10x2  160⇒ 4x2 = 256⇒ x2 = 64 x= ±8

Page No 464:

Question 16:

The root of a quadratic equation are 5 and −2. Then, the equation is
(a) x2-3x+10=0
(b) x2-3x-10=0
(c) x2+3x-10=0
(d) x2+3x+10=0

Answer:

(b) x2 - 3x - 10 = 0

It is given that the roots of the quadratic equation are 5 and 2.Then, the equation is:x2  (5  2)x + 5 × (2) = 0⇒ x2  3x  10 = 0

Page No 464:

Question 17:

If the sum of the roots of a quadratic equation is 6 and their product is 6, the equation is
(a) x2-6x+6=0
(b) x2+6x-6=0
(c) x2-6x-6=0
(d) x2+6x+6=0

Answer:

(a) x2 - 6x + 6 = 0

Given:Sum of roots = 6Product of roots = 6Thus, the equation is: x2  6x + 6 = 0

Page No 464:

Question 18:

If one root of the equation 3x2-10x+3=0 is 13, then the other root is
(a) -13
(b) 13
(c) −3
(d) 3

Answer:

(d) 3
Given: 3x2  10x + 3 = 0One root of the equation is 13.Let the other root be α.We know that:Product of the roots = ca 13 × α = 33 α = 3

Page No 464:

Question 19:

The quadratic equation whose one root is (3+23) is
(a) x2+6x-3=0
(b) x2-6x-3=0
(c) x2+6x+3=0
(d) x2-6x+3=0

Answer:

(b) x2 - 6x - 3 = 0

It is given that one root of the equation is (3 + 23).Therefore, the other root will be (3  23). α + β = 6 andαβ (3 + 23)(3  23) = 9  12 = 3Therefore, the required equation is {x2  6x + (3) = 0}. x2  6x  3 = 0

Page No 464:

Question 20:

If the sum of the roots of the equation kx2+2x+3x=0 is equal to their product, then the value of k is
(a) 13
(b) -13
(c) 23
(d) -23

Answer:

(d) -23
Given:kx2 + 2x + 3k = 0Sum of the roots = Product of the roots⇒ 2k = 3kk⇒ 3k = 2⇒ k = 23

Page No 464:

Question 21:

If one root of 5x2+13x+k=0 be the reciprocal of the other root, then the value of k is
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 5

Answer:

(d) 5
Let the roots of the equation (5x2 + 13x + k = 0) be α and 1α. Product of the roots = ca α × 1α = k5 1 = k5 k = 5

Page No 464:

Question 22:

The roots of the equation ax2+bx+c=0 will be reciprocal of each other if
(a) a = b
(b) b= c
(c) c = a
(d) none of these

Answer:

(c) c  =  a
Let the roots of the equation (ax2 bx + c = 0) be α and 1α. Product of the roots = α × 1α = 1 ca = 1 c = a

Page No 464:

Question 23:

If the roots of the equation ax2+bx+c=0 are equal, then then c = ?
(a) -b2a
(b) b2a
(c) -b24a
(d) b24a

Answer:

(d) b24a

 It is given that the roots of the equation (ax2+bx+c=0) are equal. (b2  4ac) = 0 b2 = 4ac c = b24a

Page No 464:

Question 24:

If the equation  has equal roots, then k = ?
(a) 2 or 0
(b) −2 or 0
(c) 2 or −2
(d) 0 only

Answer:

(c) 2 or −2
It is given that the roots of the equation (9x2 6kx + 4 = 0) are equal. (b2  4ac) = 0 (6k)2  4 × 9 × 4 = 0 36k2 = 144 k2 = 4 k = ±2

Page No 464:

Question 25:

If the equation x2+2(k+2)x+9k=0 has equal rots, then k = ?
(a) 1 or 4
(b) −1 or 4
(c) 1 or −4
(d) −1 or −4

Answer:

(a) 1 or 4

It is given that the roots of the equation (x2 + 2(k + 2)x + 9k = 0) are equal. (b2  4ac) = 0 {2(k + 2)}2  4 × 1 × 9k = 0 4(k2 + 4k + 4)  36k = 0 4k2 + 16k + 16  36k = 0 4k2  20k + 16 = 0 k2  5k + 4 = 0 k2  4k  k + 4 = 0 k(k  4)  (k  4) = 0 (k  4)(k  1) = 0 k = 4 or k = 1

Page No 464:

Question 26:

If the equation 4x2-3kx+1=0 has equal roots, then k = ?
(a) ±23
(b) ±13
(c) ±34
(d) ±43

Answer:

(d) ±43

It is given that the roots of the equation (4x2  3kx + 1 = 0) are equal. (b2  4ac) = 0 (3k)2  4 × 4 × 1 = 0 9k2 = 16 k2 = 169 k = ±43



Page No 465:

Question 27:

If the equation x2-2x(1+3k)+7(3+2k)=0 has equal roots, then k = ?
(a) 2 or 109
(b) -2 or 109
(c) 2 or -109
(d) -2 or -109

Answer:

(c) 2 or -109

It is given that the roots of the equation (x2  2x(1 + 3k) + 7(3 + 2k) = 0 are equal. (b2  4ac) = 0 {2(1 + 3k)}2  4 × 1 × 7(3 + 2k) = 0 4(9k2 + 6k + 1)  28(3 + 2k) = 0 36k2 + 24k + 4  84  56k = 0 36k2  32k  80 = 0 9k2  8k  20 = 0 9k2  18k + 10k  20 = 0 9k(k  2) + 10(k  2) = 0 (k  2)(9k + 10) = 0 k = 2 or k = 109

Page No 465:

Question 28:

If the equation (a2+b2)x2-2b(a+c)x+(b2+c2)=0 has both roots equal, then
(a) b = ac
(b) b=12(a+c)
(c) b2 = ac
(d) b=2ac(a+c)

Answer:

(c) b2 = ac

It is given that the roots of the equation {(a2 + b2)x2  2b(a + c)x + (b2 + c2) = 0} are equal. (b2  4ac) = 0 {2b(a + c)}2  4(a2 + b2)(b2 + c2) = 0 4b2(a2 + 2ac + c2)  4(a2b2 + a2c2 + b4 + b2c2) = 0 4a2b2 + 8ab2c + 4b2c2  4a2b2  4a2c2  4b4  4b2c2 = 0 8ab2c  4a2c2  4b4 = 0 2ab2c  a2c2  b4 = 0 b4  2acb2 + a2c2 = 0 (b2  ac)2 = 0 b2  ac = 0 b2 = ac

Page No 465:

Question 29:

The roots of ax2+bx+c=0, a0 are real and unequal, if (b2-4ac)
(a) > 0
(b) = 0
(c) < 0
(d) none of these

Answer:

(a) >  0
 The roots of the equation are real and unequal when (b2  4ac) > 0.

Page No 465:

Question 30:

In the equation ax2+bx+c=0, it is given that D=(b2-4ac)>0. Then, the roots of the equation are
(a) real and equal
(b) real and unequal
(c) imaginary
(d) none of these

Answer:

(b) real and unequal
If D = (b2  4ac) > 0, the roots are real and unequal.

Page No 465:

Question 31:

If the equation x2+5kx+16=0 has no real roots, then
(a) k>85
(b) k<-85
(c) -85<k>85
(d) none of these

Answer:

(c) -85 < k > 85

It is given that the equation (x2 + 5kx + 16 = 0) has no real roots. (b2  4ac) < 0 (5k)2  4 × 1 × 16 < 0 25k2  64 < 0 k2 < 6425 85 < k < 85

Page No 465:

Question 32:

If the equation x2-kx+1=0 has no real roots, then
(a) k < −2
(b) k > 2
(c) −2 < k < 2
(d) none of these

Answer:

(c) −2  <   <  2

It is given that the equation x2  kx + 1 = 0 has no real roots. (b2  4ac) < 0 (k)2  4 × 1 × 1 < 0 k2 < 4 2 < k < 2

Page No 465:

Question 33:

The roots of the equation 2x2-6x+7=0 are
(a) real, unequal and rational
(b) real, unequal and irrational
(c) real and equal
(d) imaginary

Answer:

(d) imaginary

 D = (b2  4ac)= (6)2  4 × 2 × 7= 36  56= 20 < 0Thus, the roots of the equation are imaginary.

Page No 465:

Question 34:

The roots of the equation 2x2-6x+3=0 are
(a) real, unequal and rational
(b) real, unequal and irrational
(c) real and equal
(d) imaginary

Answer:

(b) real, unequal and irrational

 D = (b2  4ac)= (6)2  4 × 2 × 3= 36  24= 12 12 is greater than 0 and it is not a perfect square; therefore, the roots of the equation are real, unequal and irrational.

Page No 465:

Question 35:

For the equation ax2+bx+c=0 which of the following statements is incorrect?
(a) If (b2 − 4ac) < 0, the roots are imaginary.
(b) If (b2 − 4ac) = 0, the roots are real and equal.
(c) If (b2 − 4ac) > 0 and (b2 − 4ac) is a perfect square, then the roots are rational and unequal.
(d) (b2 − 4ac) < 0, the roots are irrational.

Answer:

(d) (b2 − 4ac)  <  0, the roots are irrational.

If (b2  ac) < 0, the roots may be rational or irrational.

Page No 465:

Question 36:

If the roots of 5x2-kx+1=0 are real and distinct, then
(a) -25<k<25
(b) k>25 only
(c) k<-25 only
(d) either k>25 or k<-25

Answer:

(d) either k > 25 or k < -25

It is given that the roots of the equation (5x2  kx + 1 = 0) are real and distinct.(b2  4ac) > 0 (k)2  4 × 5 × 1 > 0 k2  20 > 0 k2 > 20 k > 20 or k < 20 k > 25 or k < 25



Page No 466:

Question 37:

The root of the equation 3x2+7x+8=0 are
(a) both real and equal
(b) both real and unequal
(c) both imaginary
(d) none of these

Answer:

(c) both imaginary

∵ D = (b2  4ac)= 49  4 × 3 × 8= 49  96= 47 < 0Thus, the roots of the equation are imaginary.

Page No 466:

Question 38:

The sum of a number and its reciprocal is 2120. The number is
(a) 54
(b) 43
(c) 34
(d) 16

Answer:

(a) 54

Let the required number be x.According to the question: x + 1x = 4120 x2 + 1x = 4120 20x2  41x + 20 = 0 20x2  25x  16x + 20 = 0 5x(4x  5)  4(4x  5) = 0 (4x  5)(5x  4) = 0 x = 54 or x = 45

Page No 466:

Question 39:

The two parts into which 57 should be divided so that their product is 782, are
(a) 43 and 14
(b) 33 and 24
(c) 34 and 23
(d) 44 and 13

Answer:

(c) 34 and 23

Let the required numbers be x and (57  x).According to the question:x(57  x) = 782 57x  x2 = 782 x2  57x + 782 = 0 x2  34x  23x + 782 = 0 x(x  34)  23(x  34) = 0 (x  34)(x  23) = 0 x = 34 or x = 23Thus, the required numbers are 34 and 23.

Page No 466:

Question 40:

The perimeter of a rectangle is 82 m and its area is 400 m2. The breadth of the rectangle is
(a) 25 m
(b) 20 m
(c) 16 m
(d) 9 m

Answer:

(c) 16 m

Let the length and breadth of the rectangle be l and b.Perimeter of the rectangle = 82 m 2 × (l + b) = 82 l + b = 41 l = (41  b)           ...(i)Area of the rectangle = 400 m2 l × b = 400 m2 (41  b)b = 400      (using (i)) 41b  b2 = 400 b2  41b + 400 = 0 b2  25b  16b + 400 = 0 b(b  25)  16(b  25) = 0 (b  25)(b  16) = 0 b = 25 or b = 16If b = 25, we have:l = 41  25 = 16 Since, l cannot be less than b, b = 16 m

Page No 466:

Question 41:

Which constant should be added and subtracted to solve the quadratic equation 4x2-3x-5=0 by the method of completing the square?
(a) 910
(b) 316
(c) 34
(d) 34

Answer:

(b) 316

Given:4x2  3x  5 = 0 (2x)2  2 × 2x × 34 + 342 - 342  5 = 0 2x  342 + 316  5 = 0Clearly, if 316 is added to the equation, the equation becomes a perfect square.

Page No 466:

Question 42:

The roots of the equation 2x-3x=1 are
(a) 12,-1
(b) 32,1
(c) 32,-1
(d) -12,32

Answer:

(c) 32, -1

Given:2x  3x = 1 2x2  3x = 1 2x2  x  3 = 0 2x2  3x + 2x  3 = 0 x(2x  3) + 1(2x  3) = 0 (2x  3)(x + 1) = 0 x = 32 or x = 1Thus, the roots of the equation are 32 and 1.

Page No 466:

Question 43:

For what real values of k, the equation 9x2+8kx+16=0 has real and equal roots?
(a) k = 2 or −2
(b) k = 3 or −3
(c) k=43or-43
(d) None of these

Answer:

(b) k = 3 or −3

It is given that the roots of the equation (9x2 + 8kx + 16 = 0) are real and equal. D = 0 (b2  4ac) = 0 64k2  4 × 9 × 16 = 0 64k2  576 = 0 k2 = 9 k = 3 or 3

Page No 466:

Question 44:

For what values of k, the equation kx2-6x-2=0 has real roots?
(a) k-92
(b) k-92
(c) k-2
(d) None of these

Answer:

(b) k  -92

It is given that the roots of the equation (kx2  6x  2 = 0) are real. D  0 (b2  4ac)  0 (6)2  4 × k × (2)  0 36 + 8k  0 k  368 k  92

Page No 466:

Question 45:

If α and β are the roots of the equation 3x2+8x+2=0, then 1α+1β=?
(a) -38
(b) 23
(c) −4
(d) 4

Answer:

(c) −4

Given:α and β are the roots of the equation 3x2 + 8x + 2 = 0 α + β = 83 and αβ 23   ...(i) 1α + 1β = α + βαβ= 8323   (from (i))= 82= 4

Page No 466:

Question 46:

Which of the following is not true?
(a) Every quadratic equation can have at the most two real roots.
(b) Some quadratic equations do not have any real root.
(c) Some quadratic equations may have one real root.
(d) Every quadratic equations has two real roots.

Answer:

(d) Every quadratic equations has two real roots.An equation may or may not have real roots.



Page No 467:

Question 47:

Consider the following statements:
I. If the roots of the equation ax2+bx+c=0 are negative reciprocal of each other, than a + c = 0.
II. A quadratic equation can have at all most two roots.
III. If α, β are the roots of x2-22x+105=0, then α + β = 22 and α − β = 8.

Of these statements:
(a) I and II are true and III is false.
(b) I and III are true and II is false.
(c) II and III are true I is false.
(d) I, II and III are all true.

Answer:

(d) I, II and III are all true.

(I) Let the roots be a and 1a.Then, a × (1a) = ca c = a a + c = 0 I is true.(II) Clearly, II is true.(III) α + β = 22 and αβ (15 × 7) = 105On solving them, we get:α = 15 and β = 7α  β = 15 - 7 = 8 III is true. I, II and III are all true.

Page No 467:

Question 48:

Assertion (A)
The equation x2 + x + 1 = 0 has both real roots.

Reason (R)
The equation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) has both real roots, if (b2 − 4ac) > 0.

(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).
(b) Both Assertion (A) and Reason (R) are true but Reason (R) is not a correct explanation of Assertion (A).
(c) Assertion (A) is true and Reason (R) is false.
(d) Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

Answer:

(d) Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

Reason (R) is true.For the equation x2 + x + 1 = 0, we have:D = 12  4 × 1 × 1 = 3 < 0This implies that both the roots of the equation are imaginary.Therefore, Assertion(A) is false.Thus, Reason (R) is true and Assertion(A) is false.

Page No 467:

Question 49:

Assertion (A)
The equation 2x2-4x+3=0 has no real roots.

Reason (R)
The equation ax2+bx+c=0, (a0) has no real roots, if (b2-4ac)<0.

(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).
(b) Both Assertion (A) and Reason (R) are true but Reason (R) is not a correct explanation of Assertion (A).
(c) Assertion (A) is true and Reason (R) is false.
(d) Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

Answer:

(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).

Reason(R) is true.From the equation 2x2  4x + 3 = 0, we have:D = (4)2  4 × 2 × 3 = 16  24 = 8 < 0Therefore, the given equation has no real roots.Thus, Assertion(A) is true and Reason(R) is a correct explanation of  Assertion(A).

Page No 467:

Question 50:

Assertion (A)
If −5 is a root of 2x2+2px-15=0 and p(x2+x)+k=0 has equal roots, then k=78.

Reason (R)
The equation ax2+bx+c=0, a0 has equal roots, if (b2-4ac)=0.

(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).
(b) Both Assertion (A) and Reason (R) are true but Reason (R) is not a correct explanation of Assertion (A).
(c) Assertion (A) is true and Reason (R) is false.
(d) Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

Answer:

(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).

 Reason(R) is true.It is given that 5 is a root of 2x2+2px15=0; therefore, we have:× (5)2 + 2p × (5)  15 = 0 50  10p  15 = 0 10p = 35 p = 3510 = 72Now,72(x2 + x) + k = 0 7x2 + 7x + 2k = 0For equal roots, we have: D = 0 49  4 × 7 × 2k = 0 56k = 49 k = 4956 = 78Thus, Assertion(A) is true and Reason(R) is a correct explanation of  Assertion(A).



Page No 468:

Question 51:

Assertion (A)
The roots of 2x2+x-6=0 are -2 and 32.

Reason (R)
If ax2+bx+c, a0, then x=-b±b2-4ac2a.

Answer:


(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).

Reason(R) is true.For the equation 2x2 + x  6 = 0, we have:
x = -1 ± 12 - 4 × 2 × (-6)2 × 2 x = -1 ± 1 + 484 x = -1 ± 494 x = -1 ± 74 x = 64, -84 x = 32, -2

Thus, Assertion (A) is true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).

Page No 468:

Question 52:

Assertion (A)
If px2-2x+2=0 has real roots, then p12.

Reason (R)
The equation (a2+b)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)=0 has no real root, if adbc.

(a) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is a correct explanation of Assertion (A).
(b) Both Assertion (A) and Reason (R) are true but Reason (R) is not a correct explanation of Assertion (A).
(c) Assertion (A) is true and Reason (R) is false.
(d) Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

Answer:

(b) Both Assertion (A) and Reason (R) are true but Reason (R) is not a correct explanation of Assertion (A).

For no real roots, we have: (b2  4ac) < 0Now, 4(ac + bd)2  4(a2 + b2)(c2 + d2)= 4a2c2 + 4b2d2 + 8abcd  4a2c2  4a2d2  4b2c2  4b2d2= 4(a2d2  2abcd + b2c2)= 4(ad  bc)2 < 0, when (ad  bc)  0  ad  bcTherefore, Reason (R) is true.Now, px2  2x + 2 = 0 has real roots; therefore, we have:(b2  4ac)  0 4  4 × p × 2  0 4  8p  0 8p  4 p  12Therefore, Assertion (A) is true.Thus, both Reason (R) and Assertion (A) are true but Reason (R) is not a correctexplanation of Assertion (A).

Page No 468:

Question 53:

Match the following columns:

Column I Column II
(a) 2x2-7x+5=0 (p) Real and equal
(b) 3x2-26x+2=0 (q) Real, distinct and irrational
(c) 9x2-10x+15=0 (r) Real distinct and rational
(d) 3x2+22x-23=0 (s) Imaginary

Answer:

(a) 2x2  7x + 5 = 0D = b2  4ac = 49  40 = 9 > 0Also, D is not a perfect square. Therefore, the roots are real, distinct and rational.(b) 3x2  26x + 2 = 0D = b2  4ac = 24  24 = 0Therefore, the roots are real and equal.(c) 9x2  10x + 15 = 0D = b2  4ac = 100  540 = 440 < 0Therefore, the roots are imaginary.(d) 3x2 + 22x  23 = 0D = b2  4ac = 8 + 24 = 32 > 0Also, D is not a perfect square. Therefore, the roots are real, distinct and irrational.So, the correct options are (a)-(r), (b)-(p), (c)-(s) and (d)-(q).



Page No 475:

Question 1:

If x2-4x+p=0 has real roots, then
(a) p ≥ 4
(b) p ≤ 4
(c) p ≥ 5
(d) p ≤ 5

Answer:

(b) p ≤ 4
It is given that the equation (x2 + 4x + p = 0) has real roots. D  0 b2  4ac  0 16  4p  0 16  4p p  4

Page No 475:

Question 2:

If x = 1 is a common root of ax2+ax+3=0 and x2+x+b=0, then ab=?
(a) 3
(b) −3
(c) 4
(d) 6

Answer:

(a) 3

It is given that 1 is a common root of (ax2 + ax + 3 = 0) and (x2 + x + b = 0). a(1)2 + a(1) + 3 = 0 and (1)2 + 1 + b = 0 a = 32 and b = 2 ab = 32 × (2) = 3

Page No 475:

Question 3:

If x2+2(k+2)x+9k=0 has a repeated root, then k = ?
(a) 1 or 4
(b) −1 or 4
(c) 1 or −4
(d) −1 or −4

Answer:

(a) 1 or 4

It is given that the equation (x2 + 2(k + 2)x + 9k = 0) has repeated roots, i.e., roots are equal. D = 0 4(k + 2)2  4 × 1 × 9k = 0 4k2 + 16k + 16  36k = 0 4k2  20k + 16 = 0 k2  5k + 4 = 0 k2  4k  k + 4 = 0 k(k  4)  1(k  4) = 0 (k  1)(k  4) = 0 k = 1 or 4

Page No 475:

Question 4:

If x2+5px+16=0 has no real root, then
(a) p>85
(b) p<-85
(c) -85<p<85
(d) none of these

Answer:

(c) -85 < p < 85

It is given that the equation (x2 + 5px + 16 = 0) has no real roots. D < 0 b2  4ac < 0 25p2  4 × 16 < 0 25p2 < 64 p2 < 6425 85 < p < 85



Page No 476:

Question 5:

For what values of k, the roots the equation x2-kx+1=0 are imaginary?

Answer:

It is given that the roots of the equation (x2 kx + 1 = 0) are imaginary.Here, a = 1, b = k and c = 1 b2  4ac < 0 k2  4 × 1 × 1 < 0 k2 < 4 k2 - 4 < 0 (k + 2)(k - 2) < 02 < k < 2

Page No 476:

Question 6:

For what values of k, the roots of the equation x2+4k+k=0 are real?

Answer:

It is given that the roots of the equation (x2 + 4x + k = 0) are real. b2  4ac  0Here, a = 1, b = 4 and c = k⇒ 16  4 × 1 × k  0⇒ 16  4k k  4
For real roots, the value of k must be lesser than or equal to 4.

Page No 476:

Question 7:

For what values of k, the roots of the equation 2x2+kx+k=0 are real?

Answer:

It is given that the roots of the equation (2x2  kx + k = 0) are equal.Here, a = 2, b = k and c = k b2  4ac = 0⇒ k2  4 × 2 × k = 0⇒ k2 = 8k⇒ k2  8k = 0⇒ k(k  8) = 0⇒ k = 0 or k = 8

Page No 476:

Question 8:

Solve: 2x2-6x+3=0.

Answer:

Given:2x2  6x + 3 = 0By quadratic formula, we can find the roots of the equation. Therefore, we have:x = -b ± b2 - 4ac2aHere, b = -6, a = 2 and c = 3  x = -(-6) ± (-6)2 - 4 × 2 × 32 × 2 x = 6 ± 36 - 244 x = 3 ± 32 x = 3 + 32, 3 - 32

Page No 476:

Question 9:

Show that the equation 2x2-5x-4=0 has real and unequal roots.

Answer:

We have to show that the roots of the equation (2x2  5x  4 = 0) are real and unequal.For real and unequal roots, we have: D > 0or b2 - 4ac > 0Here, b = -5, a = 2 and c = -4 b2 - 4ac = (-5)2 - 4 × 2 × (-4)                          = 25 + 32                         = 57 > 0For the given equation, D > 0; therefore, the roots are real and unequal. 

Page No 476:

Question 10:

Show that the equation x2-x+2=0 has no real roots.

Answer:

x2  x + 2 = 0Here, a = 1, b = 1 and c = 2 b24ac = 1  4 × 1 × 27 < 0D<0 for the equation; therefore, it has no real solution.

Page No 476:

Question 11:

Solve: 10x-1x=3.

Answer:

10x  1x = 3 10x2  1 = 3x⇒ 10x2  3x  1 = 0⇒ 10x2  5x + 2x  1 = 0⇒ 5x(2x  1) + 1(2x  1) = 0 (2x  1)(5x + 1) = 0 x = 12, x = 15

Page No 476:

Question 12:

Solve: 3x2+11x+63=0

Answer:

3x2 + 11x + 63 = 0⇒ 3x2 + 9x + 2x + 63 = 0⇒ 3x(x + 33) + 2(x + 33) = 0⇒ (x + 33)(3x + 2) = 0 x = 33, x = 23

Page No 476:

Question 13:

Solve: 3x2+25x-5=0.

Answer:

3x2 + 25x  5 = 0⇒ 3x2 + 35x  5x  5 = 0⇒ 3x(x + 5)  5(x + 5) = 0 (x + 5)(3x  5) = 0 x = 5, x = 53

Page No 476:

Question 14:

Find two consecutive positive integers, the sum of whose squares is 25.

Answer:

Let the two consecutive positive integers be x and (x + 1).According to the question:x2 + (x + 1)2 = 25⇒ x2 + x2 + 2x + 1  25 = 0⇒ 2x2 + 2x  24 = 0⇒ x2 + x  12 = 0⇒ x2 + (4  3)x  12 = 0⇒ x2 + 4x  3x  12 = 0⇒ x(x + 4)  3(x + 4) = 0 (x + 4)(x  3) = 0 x = 4, x = 3It is given that the integers are positive; therefore the value of x will be 3.Thus, the two positive integers are 3 and {(3 + 1) =  4}. 

Page No 476:

Question 15:

Solve: x2-4ax+4a2-b2=0.

Answer:

x2  4ax + 4a2  b2 = 0Here, a = 1, b = 4a and c = 4a2  b2 D = b2  4ac= 16a2  4(4a2  b2)16a2  16a2 + 4b2= 2b The roots of the equation are:b + D2a, b  D2aor, 4a + 2b2, 4a  2b2or, 2(2a + b)2, 2(2a  b)2or, (2a + b), (2a  b)

Page No 476:

Question 16:

Using quadratic formula, solve abx2+(b2-ac)x-bc=0.

Answer:

abx2 + (b2  ac)x  bc = 0Here, a = ab, b = b2  ac and c = bcD = b2  4ac(b2  ac)2  4 × ab × (bc)b4  2b2ac + a2c2 + 4b2acb4 + 2b2ac + a2c2(b2 + ac)2(b2 + ac) The roots of the equation are:b + D2a, b  D2aor, (b2  ac) + (b2 + ac)2ab, (b2  ac)  (b2 + ac)2abor, b2 + ac + b2 + ac2ab, b2 + ac  b2  ac2abor, 2ac2ab, 2b22abor, cb, ba

Page No 476:

Question 17:

The area of a right-angle triangle is 165 m2. Determine its base and altitude if the latter exceeds the former by 7 metres.

Answer:

Let the base of the right-angled triangle be x cm.According to the question:Altitude = (x + 7) cm Area of the triangle = 12 × x × (x + 7) cm2Now12 × x × (x + 7) = 165⇒ x2 + 7x  330 = 0⇒ x2 + (22  15)x  330 = 0⇒ x2 + 22x  15x  330 = 0⇒ x(x + 22)  15(x + 22) = 0 (x + 22)(x  15) = 0 x = 22, x = 15The base of the triangle can never be negative.Therefore, the base of the right-angled triangle is 15 cm. Altitude = (15 + 7) = 22 cm

Page No 476:

Question 18:

Solve: x+3x+2=3x-72x-3.

Answer:

x + 3x + 2 = 3x  72x  3⇒ (x + 3)(2x  3) = (x + 2)(3x  7)⇒ 2x2  3x + 6x  9 = 3x2  7x + 6x  14⇒ 3x2  7x + 6x  14  2x2 + 3x  6x + 9 = 0⇒ x2  4x  5 = 0⇒ x2  5x + x  5 = 0⇒ x(x  5) + 1(x  5) = 0 (x  5)(x + 1) = 0 x = 5, x = 1

Page No 476:

Question 19:

Solve: 22x-1x+3-3x+32x-1=5, x-3,12.

Answer:

2(2x  1x + 3)  3(x + 32x  1) = 5⇒ 4x  2x + 3  3x + 92x  1 = 5⇒ (4x  2)(2x  1)  (x + 3)(3x + 9)(x + 3)(2x  1) = 5⇒ 8x2  4x  4x + 2  (3x2 + 9x + 9x + 27) = 5(2x2  x + 6x  3)⇒ 8x2  8x + 2  3x2  9x  9x  27 = 10x2  5x + 30x  15⇒ 10x2  5x2 + 25x + 26x  15 + 25 = 0⇒ 5x2 + 51x + 10 = 0 5x2 + 50x + x + 10 = 0 5x(x + 10) + 1(x + 10) = 0 (x + 10)(5x + 1) = 0 x = 10, x = 15

Page No 476:

Question 20:

Solve: 5(x+1)+5(2−x)=126.

Answer:

5x + 1 + 52  x = 126⇒ 5x × 5 + 255x = 126⇒ 5y + 25y = 126  [where y = 5x]⇒ 5y2  126y + 25 = 0⇒ 5y2  125y  y + 25 = 0⇒ 5y(y  25)  1(y  25) = 0 (y  25)(5y  1) = 0 y = 25, y = 15or 5x = 52, 5x = 51 x = 2, x = 1



View NCERT Solutions for all chapters of Class 10