Rd Sharma Xi (2018) Solutions for Class 12 Science Math Chapter 8 Transformation Formulae are provided here with simple step-by-step explanations. These solutions for Transformation Formulae are extremely popular among class 12 Science students for Math Transformation Formulae Solutions come handy for quickly completing your homework and preparing for exams. All questions and answers from the Rd Sharma Xi (2018) Book of class 12 Science Math Chapter 8 are provided here for you for free. You will also love the ad-free experience on Meritnation’s Rd Sharma Xi (2018) Solutions. All Rd Sharma Xi (2018) Solutions for class 12 Science Math are prepared by experts and are 100% accurate.

Page No 8.17:

Question 1:

Express each of the following as the product of sines and cosines:
(i) sin 12x + sin 4x
(ii) sin 5x − sin x
(iii) cos 12x + cos 8x
(iv) cos 12x − cos 4x
(v) sin 2x + cos 4x

Answer:

(i)
sin 12x + sin 4x=2sin 12x + 4x2 cos12x - 4x2                 sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2=2 sin 8x cos 4x

(ii)
sin 5x- sin x=2sin 5x - x2 cos 5x + x2                  sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2=2 sin 2x cos 3x

(iii)
cos 12x + cos 8x= 2cos 12x + 8x2 cos 12x - 8x2             cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2=2 cos 10x cos 2x

(iv)
cos 12x - cos 4x=-2sin 12x + 4x2 sin 12x - 4x2                        cos A - cos B = -2sin A + B2 sin A - B2=-2 sin 8x sin 4x

(v)
sin 2x + cos 4x= sin 2x + sin π2- 4x= 2sin 2x + π2 - 4x2 cos 2x- π2 + 4x2                  sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2= 2sin π4 - x cos 3x - π4

Page No 8.17:

Question 2:

Prove that:
(i) sin 38° + sin 22° = sin 82°
(ii) cos 100° + cos 20° = cos 40°
(iii) sin 50° + sin 10° = cos 20°
(iv) sin 23° + sin 37° = cos 7°
(v) sin 105° + cos 105° = cos 45°
(vi) sin 40° + sin 20° = cos 10°

Answer:

(i)

Consider LHS:sin 38° + sin 22°= 2sin 38° + 22°2 cos 38° - 22°2                        sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 30° cos 8°= 2×12cos(90°-8°)= sin 82°= RHSHence, LHS=RHS.

(ii)

Consider LHS:cos 100° + cos 20°= 2cos 100° + 20°2 cos 100° - 20°2                            cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2= 2cos 60° cos 40°= 2×12cos 40°= cos 40°Hence, LHS=RHS.

(iii)

Consider LHS:sin 50° + sin 10°= 2sin 50° + 10°2 cos 50° - 10°2                         sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 30° cos 20°=2×12cos 20°= cos 20°Hence, LHS = RHS.


(iv)

Consider LHS:sin 23° + sin 37°= 2sin 23° + 37°2 cos 23°- 37°2                       sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 30° cos -7°= 2sin 30°cos 7°= 2×12cos 7°= cos 7°Hence, LHS=RHS.

(v)

Consider LHS:sin 105° + cos 105°= sin 105° + cos 90° + 15°= sin 105° - sin 15°= 2sin 105° - 15°2 cos 105° + 15°2                          sinA+sinB=2sinA-B2cosA+B2= 2sin 45°cos 60°= 2sin 90° - 45° cos 60°= 2×12cos45°=cos 45°Hence, LHS=RHS.

(vi)

Consider LHS:sin 40° + sin 20°= 2sin 40° + 20°2 cos 40° - 20°2                   sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2= 2sin 30° cos 10°= 2×12cos 10°= cos10°Hence, LHS = RHS.

Page No 8.17:

Question 3:

Prove that:
(i) cos 55° + cos 65° + cos 175° = 0

(ii) sin 50° − sin 70° + sin 10° = 0

(iii) cos 80° + cos 40° − cos 20° = 0

(iv) cos 20° + cos 100° + cos 140° = 0

(v) sin5π18-cos4π9=3 sinπ9

(vi) cosπ12-sinπ12=12

(vii) sin 80° − cos 70° = cos 50°

(viii) sin 51° + cos 81° = cos 21°

Answer:


(i)

Consider LHS:cos 55° + cos 65° + cos 175°= 2cos 55° + 65°2 cos 55° - 65°2 + cos 175°               cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2= 2cos 60° cos-5° + cos 175°= 2×12cos 5° + cos 175°=cos 5° + cos 175°= 2cos 5° + 175°2 cos 5° - 175°2= 2cos 90° cos 85°= 0Hence, LHS=RHS.


(ii)

Consider LHS:sin 50° - sin 70° + sin 10°= 2sin 50° -70°2 cos 50° + 70°2  + sin 10°                 sin A - sin B = 2sin A - B2 cos A + B2= 2sin -10° cos 60° + sin 10°=2×12sin -10° + sin 10°= -sin 10°+sin 10°= 0Hence, LHS=RHS.

(iii)

Consider LHS:cos 80° + cos 40° - cos 20°= 2cos 80° + 40°2 cos 80° - 40°2 - cos 20°                      cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2= 2cos 60° cos 20°- cos 20°= 2×12cos 20° - cos20°= cos 20° - cos 20°= 0Hence, LHS=RHS.

(iv)

Consider LHS:cos 20° + cos 100° + cos 140°= 2cos 20° + 100°2 cos 20° - 100°2 + cos 140°                cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2= 2cos 60° cos -40° + cos 140°= 2×12cos 40° + cos 140°= cos 40° + cos 140°= 2cos 40° + 140°2 cos 40° - 140°2= 2 cos 90° cos 50°= 0Hence, LHS=RHS.


(v)

LHS=sin5π18-cos4π9=sin5π18- cosπ2-π18=sin5π18- sinπ18=2sin5π18-π182cos5π18+π182    sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2=2sinπ9cosπ6=2sinπ9cosπ6=2×32sinπ9=3sinπ9=RHSHence, LHS=RHS.

(vi)

LHS= cos π12 - sin π12= cos π2 - 5π12 - sin π12= sin 5π12 - sin π12= 2sin 5π12 - π122 cos 5π12 + π122                  sin A - sin B = 2sin A - B2 cos A + B2= 2sin π6 cos π4= 2×12×12=12Hence, LHS=RHS.


(vii)

Consider LHS:sin 80° - cos 70°= sin 80° -  cos 90° - 20°= sin 80° -  sin 20°= 2sin 80° - 20°2 cos 80° + 20°2                 sin A - sin B = 2sin A - B2 cos A + B2= 2sin 30° cos 50°= 2×12cos 50°= cos 50°= RHSHence, LHS=RHS.

(viii)

Consider LHS:sin 51° + cos 81°= sin 51° + cos 90° - 9°= sin 51° + sin 9°= 2sin 51° + 9°2 cos 51° - 9°2                       sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 30° cos 21°= 2×12cos21°= cos21°= RHSHence, LHS=RHS.



Page No 8.18:

Question 4:

Prove that:
(i) cos3π4+x-cos3π4-x=-2 sin x

(ii) cosπ4+x+cosπ4-x=2 cos x

Answer:

(i)

Consider LHS:cos 3π4 + x - cos 3π4 - x=-2sin3π4 + x + 3π4 - x2 sin 3π4  + x - 3π4 - x2                     cos A - cos B = -2sin A + B2 sinA - B2= -2sin3π4 sin x= -2sin π- π4 sin x= -2sin π4 sin x= -2sin x


(ii)

Consider LHS:cos π4 + x + cosπ4 - x=2cos π4 +  x + π4 - x2cos π4 + x - π4 + x2                  cos A + cos B = 2cos A + B2 cos A - B2

= 2cos π4 + x + π4 - x2cos π4+ x - π4 + x2= 2cos π4 cos x= 2×12×cosx= 2cosx=RHSHence, LHS=RHS

Page No 8.18:

Question 5:

Prove that:
(i) sin 65° + cos 65° = 2 cos 20°
(ii) sin 47° + cos 77° = cos 17°

Answer:

(i)

Consider LHS:sin 65° + cos 65°= sin 65° + cos 90° - 25°= sin 65° + sin 25°= 2sin 65° + 25°2 cos 65° - 25°2                             sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 45° cos 20°= 2×12 cos 20°= 2cos 20°= RHSHence, LHS = RHS.

(ii)

Consider LHS:sin 47° + cos 77°= sin 47° + cos 90°-13°= sin 47° + sin 13°= 2sin 47° + 13°2 cos 47° - 13°2                sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 30° cos 17°= 2×12cos 17°= cos 17°= RHSHence, LHS = RHS.

Page No 8.18:

Question 6:

Prove that:
(i) cos 3A + cos 5A + cos 7A + cos 15A = 4 cos 4A cos 5A cos 6A
(ii) cos A + cos 3A + cos 5A + cos 7A = 4 cos A cos 2A cos 4A
(iii) sin A + sin 2A + sin 4A + sin 5A = 4 cos A2 cos 3A2 sin 3A
(iv) sin 3A + sin 2A − sin A = 4 sin A cos A2 cos 3A2
(v) cos 20° cos 100° + cos 100° cos 140° − 140° cos 200° = −34
(vi) sinx2sin7x2+sin3x2sin11x2= sin 2x sin 5x.
(vii) cos x cos x2-cos 3x cos9x2=sin 7x sin 8x

Answer:

(i)

Consider LHS: cos 3A + cos 5A + cos 7A + cos 15A= 2cos 3A + 5A2 cos 3A - 5A2 + 2cos 7A + 15A2 cos 7A - 15A2             cos A + cos B = 2cos A + B2 cos A - B2= 2cos 4A cos-A + 2cos 11A cos-4A

= 2cos 4A cos A + 2cos 11A cos 4A= 2cos 4A cos A + cos 11A= 2cos 4A×2cos A + 11A2 cos A - 11A2= 4cos 4A cos 6A cos-5A= 4cos 4A cos 5A cos 6A= RHSHence, LHS=RHS

(ii)

Consider LHS: cos A + cos 3A + cos 5A + cos 7A=2cos A + 3A2 cos A - 3A2 + 2cos 5A + 7A2 cos 5A - 7A2         cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2= 2cos 2A cos-A + 2cos 6A cos-A

= 2cos 2A cos A + 2cos 6A cos A= 2cos A(cos 2A + cos 6A)=2cos A×2cos 2A + 6A2 cos 2A - 6A2= 4cos A cos 4A cos-2A= 4cos A cos 2A cos 4A= RHSHence, LHS=RHS.

(iii)

Consider LHS: sin A + sin 2A + sin 4A + sin 5A= 2sin A + 2A2 cos A - 2A2 + 2sin 4A + 5A2 cos 4A - 5A2          sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 32A cos -A2 + 2sin 92A cos -A2

= 2sin 32A cos A2 + 2sin 92A cos A2= 2cos A2sin 32A + sin 92A= 2cos A2×2sin 32A + 92A2 cos 32A - 92A2= 4cos A2 cos 3A cos -32A= 4cos A2 cos 32A cos 3A= RHSHence, LHS=RHS

(iv)

Consider LHS:= sin 3A + sin 2A - sin A= 2sin 3A + 2A2 cos 3A - 2A2 - sinA                     sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2= 2sin 52A cos A2 - sin A

= 2sin 52A cos A2 - 2sin A2 cos A2= 2cos A2 sin 52A - sin A2= 2cos A2 × 2sin 52A - A22 cos 52A + A22= 4cos A2 sin A cos 32A= 4sin A cos A2 cos 32A= RHSHence, LHS=RHS

(v)

Consider LHS: cos 20° cos 100° + cos 100° cos 140° - cos 140° cos 200°=12(2cos 20° cos 100° + 2cos 100° cos 140° - 2cos 140° cos 200°)=12cos100°+20°cos 100°-20° +cos 140°+100°cos 140°-100°-cos 200°+140°cos 200°-140°=12cos120°+cos80°+cos240°+cos40°-cos340°-cos60° =12cos120°+cos240°-cos60°+cos80°+cos40°-cos340°=12-12-12-12+cos80°+cos40°-cos340°=12-32+2cos80°+40°2cos80°-40°2-cos360°-20°=12-32+2cos60°cos20°-cos20°=12-32+cos20°-cos20°=12-32=-34=RHSHence, LHS=RHS

(vi)
LHS =sinx2sin7x2+sin3x2sin11x2=122sinx2sin7x2+2sin3x2sin11x2=12cos7x2-x2-cos7x2+x2+cos11x2-3x2-cos11x2+3x2=12cos3x-cos4x+cos4x-cos7x=12cos3x-cos7x=12-2sin3x+7x2sin3x-7x2=12-2sin5xsin-2x=sin5xsin2x=RHS

Hence, LHS = RHS

(vii)
LHS =cos x cosx2-cos 3x cos9x2=122cos x cosx2-2cos 3x cos9x2=12cosx+x2+cosx-x2-cos3x+9x2-cos3x-9x2=12cos3x2+cosx2-cos15x2-cos3x2=12cosx2-cos15x2=12-2sinx+15x4sinx-15x4=12-2sin4xsin-7x2=sin4xsin7x2=RHS

Hence, LHS = RHS

Disclaimer: The given question is incorrect. The correct question should be cos x cos x2-cos 3x cos9x2=sin 4x sin 7x2.

Page No 8.18:

Question 7:

Prove that:

(i) sin A+sin 3Acos A-cos 3A=cot A

(ii) sin 9A-sin 7Acos 7A-cos 9A=cot 8A

(iii) sin A-sin Bcos A+cos B=tanA-B2

(iv) sin A+sin Bsin A-sin B = tan A+B2 cot A -B2 

(v) cos A+cos Bcos B-cos A=cot A+B2 cot A-B2

Answer:

(i)
Consider LHS: sin A + sin 3Acos A - cos 3A= 2sin A + 3A2 cos A - 3A22sin A + 3A2 sin 3A - A2         sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2, and cos A - cos B = 2sin A + B2 cos B - A2=sin 2A cos -Asin 2A sin A= sin 2A cos Asin 2A sin A= cot A=RHSHence, LHS = RHS.

(ii)

Consider LHS:sin 9A - sin 7Acos 7A - cos 9A= 2sin 9A - 7A2 cos 9A + 7A22sin 7A + 9A2 sin 9A - 7A2        sin A - sin B = 2sin A - B2 cos A + B2 and cos A - cos B = 2sin A + B2 cos B - A2=sin A cos 8Asin 8A sin A=cot 8A=RHSHence, LHS = RHS.

(iii)
Consider LHS: sin A - sin Bcos A + cos B= 2sin A - B2 cos A + B22cos A + B2 cos A - B2         sin A - sin B = 2sin A - B2 cos A + B2 and cos A + cos B = 2cos A + B2 cos A - B2= sin A - B2 cos A + B2cos A + B2 cos A - B2= tanA - B2=RHSHence, LHS = RHS.
(iv)

Consider LHS: sin A + sin Bsin A - sin B= 2sin A + B2 cos A - B22sin A + B2 cos A - B2          sin A + sin B = 2sin A + B2 cos A - B2, and sin A - sin B = 2sin A - B2 cosA + B2= sin A + B2 cos A - B2sin A - B2 cos A + B2= tan A + B2 cot A - B2=RHSHence, LHS=RHS.





(v)

Consider LHS: cos A + cos Bcos B - cos A= 2cos A - B2 cos A + B22sin A + B2 sin A - B2         cos A + cos B = 2cos A - B2 cos A + B2 and cos A - cos B = 2sin A + B2 cos B - A2= cos A - B2 cos A + B2sin A + B2 sin A - B2= cot A + B2 cot A - B2=RHSHence, LHS=RHS.

 

Page No 8.18:

Question 8:

Prove that:
(i) sin A+sin 3A+sin 5Acos A+cos 3A+cos 5A=tan 3A

(ii) cos 3A+2 cos 5A+cos 7Acos A+2 cos 3A+ cos 5A=cos 5Acos 3A

(iii) cos 4A+cos 3A+cos 2Asin 4A+sin 3A+sin 2A=cot 3A

(iv) sin 3A+sin 5A+sin 7A+sin 9Acos 3A+cos 5A+cos 7A+cos 9A=tan 6A

(v) sin 5A-sin 7A+sin 8A-sin 4Acos 4A+cos 7A-cos 5A-cos 8A=cot 6A

(vi) sin 5A cos 2A-sin 6A cos Asin A sin 2A-cos 2A cos 3A=tan A

(vii) sin 11A sin A+sin 7A sin 3Acos 11A sin A+cos 7A sin 3A=tan 8A

(viii) sin 3A cos 4A-sin A cos 2Asin 4A sin A+cos 6A cos A=tan 2A

(ix) sin A sin 2A+sin 3A sin 6Asin A cos 2A+sin 3A cos 6A=tan 5A

(x) sin A+2 sin 3A+sin 5Asin 3A+2 sin 5A+sin 7A=sin 3Asin 5A

(xi) sin θ+ϕ-2 sin θ+sin θ-ϕcos θ+ϕ-2 cos θ+cos θ-ϕ=tan θ

Answer:

(i)Consider LHS: sin A + sin 3A + sin 5Acos A + cos 3A + cos 5A= sin A + sin 5A + sin 3Acos A + cos 5A + cos 3A= 2sin A + 5A2 cos A - 5A2 + sin 3A2cos A + 5A2 cos A - 5A2 + cos 3A = 2 sin 3A cos -2A + sin 3A2cos 3A cos -2A + cos 3A=2sin 3A cos 2A + sin 3A2cos 3A cos 2A + cos 3A=sin 3A 2cos 2A + 1cos 3A 2cos 2A + 1= tan 3A= RHSHence, RHS=LHS.


(ii)Consider LHS: cos 3A + 2cos 5A + cos 7Acos A + 2cos 3A + cos 5A=cos 3A + cos 7A + 2cos 5Acos A + cos 5A + 2cos 3A= 2cos 3A + 7A2 cos 3A - 7A2 + 2cos 5A2cos A + 5A2 cos A - 5A2 + 2cos 3A =2cos 5A cos -2A + 2cos 5A2cos 3A cos -2A + 2cos 3A=2cos 5A cos 2A + 2cos 5A2cos 3A cos 2A + 2cos 3A= 2cos 5A cos 2A + 12cos 3A cos 2A + 1= cos 5Acos 3A=RHSHence, RHS=LHS.


(iii) Consider LHS: cos 4A + cos 3A + cos 2Asin 4A + sin 3A + sin 2A= cos 4A + cos 2A + cos 3Asin 4A + sin 2A + sin 3A= 2cos 4A + 2A2 cos 4A - 2A2 + cos 3A2sin 4A + 2A2 cos 4A - 2A2 + sin 3A = 2cos 3A cos A + cos 3A2sin 3A cos A + sin 3A=cos 3A2cos A + 1sin 3A2cos A + 1= cot 3A= RHSHence, RHS = LHS.
(iv)Consider LHS: sin 3A + sin 5A + sin 7A + sin 9Acos 3A + cos 5A + cos 7A + cos 9A= sin 3A + sin 9A + sin 5A + sin 7Acos 3A + cos 9A + cos 5A + sin 7A= 2sin 3A + 9A2 cos 3A - 9A2 + 2sin 5A + 7A2 cos 5A - 7A22cos 3A + 9A2 cos 3A - 9A2 + 2cos 5A + 7A2 cos 5A - 7A2= 2sin 6A cos -3A + 2sin 6A cos -A2cos 6A cos -3A + 2cos 6A cos -A= 2sin 6A cos 3A + 2sin 6A cos A2cos 6A cos 3A + 2cos 6A cos A= 2sin 6Acos 3A + cos A2cos 6Acos 3A + cos A= tan 6A= RHSHence, LHS = RHS.


(v)Consider LHS: sin 5A - sin 7A + sin 8A - sin 4Acos 4A + cos 7A - cos 5A - cos 8A=sin 5A - sin 7A + sin 8A - sin 4Acos 4A - cos 8A + cos 7A - sin 5A= 2sin 5A - 7A2 cos 5A + 7A2 + 2sin 8A - 4A2 cos 8A + 4A2-2sin 4A + 8A2 sin 4A - 8A2 - 2sin 7A +5A2 sin 7A - 5A2 =2sin -A cos 6A + 2sin 2A cos 6A-2sin 6A sin -2A - 2sin 6A sin A=-2sin A cos 6A + 2sin 2A cos 6A2sin 6A sin 2A - 2sin 6A sin A=2cos 6Asin 2A - sin A2sin 6Asin 2A - sin A= cot 6A= RHSHence, LHS = RHS.


(vi)Consider LHS: sin 5A cos 2A -sin 6A cos Asin A sin 2A - cos 2A cos 3AMultiplying numerator and denominator by 2, we get= 2sin 5A cos 2A - 2sin 6A cos A2sin A sin 2A - 2cos 2A cos 3A=sin 5A + 2A + sin 5A - 2A - sin 6A +A - sin 6A - Acos A - 2A + cos A + 2A - cos 2A +3A -cos 2A - 3A=sin 7A + sin 3A -sin 7A - sin 5Acos -A + cos 3A -cos 5A - cos -A=sin 7A + sin 3A - sin 7A - sin 5Acos A + cos 3A - cos 5A - cos A= sin 3A - sin 5Acos 3A - cos 5A= 2sin 3A - 5A2 cos 3A + 5A2-2cos 3A + 5A2 cos3A -5A2= sin -A cos 4A-cos 4A cos -A= -sin A cos 4A-cos 4Acos A=sin Acos A= tanA= RHSHence, LHS=RHS.



(vii)Consider LHS: sin 11A sin A + sin 7A sin 3Acos 2A sin A + cos 6A sin 3AMultiplying numerator and denominator by 2, we get= 2sin 11A sin A + 2sin 7A sin 3A2cos 11A sin A + 2cos 7A sin 3A= cos 11A - A - cos 11A + A + cos 7A - 3A - cos 7A + 3Asin 11A + A - sin 11A - A + sin 7A + 3A - sin 7A - 3A=cos 10A -cos  12A + cos 4A - cos 10Asin 12A - sin 10A + sin 10A - sin 4A= cos 4A - cos 12Asin 12A - sin 4A= -2sin 4A + 12A2 sin 4A - 12A22sin 12A - 4A2 cos 12A + 4A2=-sin 8A sin -4Asin 4A cos 8A=sin 8A sin 4Asin 4A cos 8A=tan8A= RHSHence, LHS = RHS.

(viii)Consider LHS: sin 3A cos 4A - sin A cos 2Asin 4A sin A + cos 6A cosAMultiplying numerator and denominator by 2, we get= 2sin 3A cos 4A - 2sin A cos 2A2sin 4A sin A + 2cos 6A cos A= sin 3A + 4A + sin 3A - 4A - sin A + 2A - sin A - 2Acos 4A - A - cos 4A + A + cos 6A + A +cos 6A - A= sin 7A + sin -A - sin 3A - sin -Acos 3A - cos 5A + cos 7A + cos 5A= sin 7A - sin A - sin 3A + sin Acos 3A - cos 5A + cos 7A + cos 5A= sin 7A - sin 3Acos 3A + cos 7A= 2sin 7A - 3A2 cos 7A + 3A22cos 3A + 7A2 cos 3A - 7A2= sin 2A cos 5Acos 5A cos -2A= sin 2A cos 5Acos 5A cos 2A= tan 2A= RHSHence, LHS = RHS.

(ix)Consider LHS: sin A sin 2A + sin 3A sin 6Asin A cos 2A + sin 3A cos 6AMultiplying numerator and denominator by 2, we get=2sin A sin 2A + 2sin 3A sin 6A2sin A cos 2A + 2sin 3A cos 6A= cos A - 2A -cos A +2A + cos 3A - 6A - cos 3A + 6Asin A+ 2A + sin A - 2A + sin 3A + 6A + sin 3A- 6A= cos-A - cos 3A + cos -3A - cos 9Asin 3A  sin -A + sin 9A + sin -3A= cos A - cos 3A + cos 3A - cos 9Asin 3A - sin A + sin 9A - sin 3A= cos A - cos 9A  sin 9A-sin A= -2sin A + 9A2 sin A - 9A22cos A + 9A2 sin  9A-A2= sin5Acos4Asin 5A cos -4A= tan 5A= RHSHence, LHS=RHS.


(x) Consider LHS: sinA + 2sin3A + sin5Asin3A + 2sin5A + sin7A=sinA + sin5A + 2sin3Asin3A + sin7A + 2sin5A=2sinA+5A2cosA-5A2 + 2sin3A2sin3A+7A2cos3A-7A2 + 2sin5A =2sin3A cos-2A + 2sin3A2sin5A cos-2A + 2sin5A=2sin3A cos2A + 2sin3A2sin5A cos2A + 2sin5A=2sin3Acos 2A + 12sin5Acos2A + 1=sin3Asin5A= RHSHence, LHS=RHS.

(xi)Consider LHS: sinθ+ϕ - 2sinθ + sinθ-ϕcosθ+ϕ - 2cosθ + cosθ-ϕ=sinθ+ϕ+ sinθ-ϕ - 2sinθcosθ+ϕ + cosθ-ϕ - 2cosθ=2sinθ+ϕ+θ-ϕ2cosθ+ϕ-θ+ϕ2-2sinθ2cosθ+ϕ+θ-ϕ2cosθ+ϕ-θ+ϕ2-2cosθ =2sinθcosϕ-2sinθ2cosθcosϕ-2cosθ=2sinθcosϕ-12cosθcosϕ-1= tanθ= RHSHence, RHS=LHS.



Page No 8.19:

Question 9:

Prove that:
(i) sin α+sin β+sin γ-sin (α+β+γ)=4 sin α+β2 sin β+γ2 sin γ+α2

(ii) cos (A + B + C) + cos (AB + C) + cos (A + BC) + cos (− A + B + C) = 4 cos A cos B cos C

Answer:

(i)Consider LHS: sin α + sin β + sin γ - sin (α + β + γ)= 2sinα + β2 cos α - β2 + 2cos γ + α + β + γ2 sin γ - α - β - γ2=2sinα+β2cosα-β2 + 2cos2γ+α+β2sin-α-β2=2sinα+β2cosα-β2 + 2cos2γ+α+β2sin-α+β2=2sinα+β2cosα-β2 - cos2γ+α+β2=2sinα+β2-2sinα-β+2γ+α+β4 sinα-β-2γ-α-β4=2sinα+β2-2sinα+γ2 sin-β-γ2=2sinα+β22sinα+γ2 sinβ+γ2=4sinα+β2 sinα+γ2 sinβ+γ2= RHSHence, LHS=RHS.


(ii)Consider LHS:cos (A+B+C) + cos (A-B+C) + cos (A+B-C) + cos (-A+B+C)=2cos A+B+C+A-B+C2 cos A+B+C-A+B-C2 + 2cos A+B-C-A+B+C2 cos A+B-C+A-B-C2=2cosA+C cos  B+2cos B cosA-C=2cos Bcos A+C + cos A-C=2cos B2cos A+C+A-C2 cos A+C-A+C2=2cos B2cos A cos C=4cos A cos B cos C= RHSHence, LHS=RHS.

Page No 8.19:

Question 10:

If cos A+cos B=12 and sin A+sin B=14, prove that tanA+B2=12.

Answer:

Given:
sin A + sin B = 14         .....(i)
cos A + cos B =12         .....(ii)

Dividing (i) by (ii):

 sinA+sinBcosA+cosB=14122sinA+B2cosA-B22cosA+B2cosA-B2 =12   sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2 and cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2sinA+B2cosA-B2cosA+B2cosA-B2=12tanA+B2=12Hence proved.

Page No 8.19:

Question 11:

If cosec A + sec A = cosec B + sec B, prove that tan A tan B = cotA+B2.

Answer:

Given:
1sinA+1cosA=1sinB+1cosB1sinA-1sinB=1cosB-1cosAsinB-sinAsinAsinB=cosA-cosBcosAcosBsinB-sinAcosA-cosB=sinAsinBcosAcosB2sinB-A2cosA+B2-2sinA-B2sinA+B2=sinAsinBcosAcosB-sinA-B2cosA+B2-sinA-B2sinA+B2=sinAsinBcosAcosBcosA+B2sinA+B2=sinAsinBcosAcosBcotA+B2=tanAtanBHence proved.

Page No 8.19:

Question 12:

If sin 2A=λ sin 2B, prove that tan (A+B)tan (A-B)=λ+1λ-1.

Answer:

Given:
sin 2A = λ sin 2B

sin2Asin2B=λ

 sin2A+sin2Bsin2A-sin2B=λ+1λ-12sin2A+2B2cos2A-2B22sin2A-2B2cos2A+2B2= λ+1λ-1   sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2 and sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2sinA+BcosA-BsinA-BcosA+B=λ+1λ-1tanA+BcotA-B=λ+1λ-1

tanA+BtanA-B=λ+1λ-1

Hence proved.

Page No 8.19:

Question 13:

Prove that:
(i) cos (A+B+C)+cos (-A+B+C)+cos (A-B+C)+cos (A+B-C)sin (A+B+C)+sin (-A+B+C)+sin (A-B+C)-sin (A+B-C)=cot C

(ii) sin (B C) cos (AD) + sin (CA) cos (BD) + sin (AB) cos (CD) = 0

Answer:

(i)Consider LHS: cos(A+B+C) + cos(-A+B+C) + cos(A-B+C) + cos(A+B-C)sin(A+B+C) + sin(-A+B+C) + sin(A-B+C) - sin(A+B-C)=2cosA+B+C-A+B+C2cosA+B+C+A-B-C2+2cosA-B+C+A+B-C2cosA-B+C-A-B+C22sinA+B+C-A+B+C2cosA+B+C+A-B-C2+2sinA-B+C-A-B+C2cosA-B+C+A+B-C2=2cos B+C cos A +2cos A cos -B+C2sin B+C cos A+ 2sin -B+C cos A=2cos Acos B+C + cos-B+C2cos AsinB+C + sin-B+C=cos B+C + cos -B+CsinB+C + sin -B+C=2cos B+C-B+C2 cos B+C+B-C22sinB+C-B+C2 cos B+C+B-C2= cos C cos Bsin C cos B= cotC= RHSHence, LHS = RHS.

(ii)Consider LHS:sin (B-C) cos (A-D) + sin (C-A) cos (B-D) + sin (A-B) cos (C-D)Multiplying by 2: 2sin (B-C) cos (A-D) + 2sin(C-A) cos (B-D) + 2sin (A-B) cos (C-D)= sin B-C+A-D + sin B-C-A+D + sin C-A+B-D + sin C-A-B+D + sin A-B+C-D + sin A-B-C+D= sin-C+D-A-B+sin-A+C-B-D+sin-A+D-B-C+sinC-A-B+D+sinA-B+C-D+sinA-B-C+D=-sinC+D-A-B-sinA+C-B-D-sinA+D-B-C+sinC-A-B+D+sinA-B+C-D+sinA-B-C+D=0= RHSHence, LHS=RHS.

Page No 8.19:

Question 14:

Ifcos (A-B)cos (A+B)+cos (C+D)cos (C-D)=0, Prove that tan A tan B tan C tan D =-1

Answer:

We have,cos A-Bcos A+B + cos C+Dcos C-D=0cos A-B cos C-D + cos C+D cos A+Bcos A+B cos C-D=0cos A-B cos C-D + cos C+D cos A+B = 0cos A-B cos C-D = -cos C+D cos A+Bcos A cos B + sin A sin Bcos C cos D + sin C sin D = -cos C cos D - sin C sin Dcos A cos B - sin A sin B

Dividing both sides by cos A cos B cos C cos D we get,cosA cosB+sinAsinBcosCcosD+sinCsinDcosAcosBcosCcosD=-cosC cosD-sinCsinDcosAcosB-sinAsinBcosAcosBcosCcosDcosA cosB+sinAsinBcosAcosB×cosCcosD+sinCsinDcosCcosD=-cosC cosD-sinCsinDcosCcosD×sinCcosAcosB-sinAsinBcosAcosB1+tanAtanB1+tanCtanD=tanCtanD-11-tanAtanB1+tanCtanD+tanAtanB+tanAtanBtanCtanD=tanCtanD-tanAtanBtanCtanD+tanAtanBtanD-1+tanAtanB2tanAtanBtanCtanD=-2tanAtanBtanCtanD=-1Hence proved.

Page No 8.19:

Question 15:

If cos (α + β) sin (γ + δ) = cos (α − β) sin (γ − δ), prove that cot α cot β cot γ = cot δ

Answer:

cos α+β sin γ+δ = cos α-β sin γ-δcos αcos β - sin α sin βsin γ cos δ + cos γ sin δ = cos α cos β + sin α sin βsin γ cos δ- cos γ sin δ

Dividing both sides by sin α sin β sin γ sin δ:cosα cosβ - sinα sinβsinγ cosδ + cosγ sinδsin α sin β sin γ sin δ=cosα cosβ + sinα sinβsinγ cosδ - cosγ sinδsin α sin β sin γ sin δcosα cosβ - sinαsinβsin α sin β ×sinγ cosδ + cosγ sinδ sin γ sin δ=cosα cosβ + sinα sinβsin α sin β ×sinγ cosδ - cosγ sinδ sin γ sin δcotα cotβ - 1cotδ + cotγ = cotα cotβ + 1cotδ - cotγcotα cotβ cotδ + cotα cotβ cotγ - cotδ - cotγ = cotα cotβ cotδ - cotα cotβ cotγ + cotδ - cotγ  -cotδ - cotδ = -cotα cotβ cotγ - cotα cotβ cotγ-2cotδ =-2cotα cotβ cotγcotα cotβ cotγ = cotδHence proved.

Page No 8.19:

Question 16:

If y sin ϕ = x sin (2θ + ϕ), prove that (x + y) cot (θ + ϕ) = (yx) cot θ.

Answer:

Given:
y sin ϕ = x sin (2θ + ϕ)

yx=sin2θ+ϕsinϕApplying componendo and dividendo:y-xy+x=sin2θ+ϕ - sinϕsin2θ+ϕ + sinϕy-xy+x=2sin2θ+ϕ-ϕ2cos2θ+ϕ+ϕ22sin2θ+ϕ+ϕ2cos2θ+ϕ-ϕ2y-xy+x=2sin θ cosθ+ϕ2sinθ+ϕ cos θy-xy+x=sin θ cosθ+ϕsinθ+ϕ cos θy-xy+x=cot θ+ϕcot θy-x cotθ = y+x cotθ+ϕ

Page No 8.19:

Question 17:

If cos (A + B) sin (CD) = cos (AB) sin (C + D), prove that tan A tan B tan C + tan D = 0.

Answer:

cos (A + B) sin (CD) = cos (AB) sin (C + D)

[cosA cosB − sinA sinB] [sinC cosD − cosC sinD] = [cosA cosB + sinA sinB] [sinC cosD +  cosC sinD]

Dividing both sides by cos A cos B cos C cos D,cosA cosB - sinA sinBsinC cosD- cosC sinDcosA cosB cosC cosD=cosA cosB + sinA sinBsinC cosD + cosC sinDcosA cosB cosC cosDcosA cosB- sinA sinBcosA cosB×sinCcosD - cosC sinDcosC cosD = cosA cosB + sinA sinBcosA cosB×sinC cosD + cosC sinDcosC cosD1 - tanA tanBtanC-tanD = 1 + tanA tanBtanC + tanDtanC - tanD -tanA tanB tanC + tanA tanB tanD = tanC + tanD + tanA tanB tanC + tanA tanB tanD-tanD - tanD = tanA tanB tanC + tanA tanB tanC-2tanD=2tanA tanB tanCtanA tanB tanC = -tanDtanA tanB tanC + tanD = 0Hence proved.

Page No 8.19:

Question 18:

If x cosθ=y cosθ+2π3=z cosθ+4π3, prove that xy+yz+zx=0.                    [NCERT EXEMPLAR]

Answer:

x cosθ=y cosθ+2π3=z cosθ+4π3cosθ1x= cosθ+2π31y=cosθ+4π31zcosθ1x= cosθ+2π31y=cosθ+4π31z=cosθ+cosθ+2π3+cosθ+4π31x+1y+1z                ab=cd=ef=...=a+c+e+...b+d+f+...
cosθ1x= cosθ+2π31y=cosθ+4π31z=cosθ+2cosθ+2π3+θ+4π32cosθ+2π3-θ-4π321x+1y+1zcosθ1x= cosθ+2π31y=cosθ+4π31z=cosθ+2cosπ+θcos-π31x+1y+1zcosθ1x= cosθ+2π31y=cosθ+4π31z=cosθ+2×-cosθ×121x+1y+1z                  cos-θ=cosθ
cosθ1x= cosθ+2π31y=cosθ+4π31z=01x+1y+1z1x+1y+1z=0yz+zx+xyxyz=0xy+yz+zx=0

Page No 8.19:

Question 19:

If m sinθ=n sinθ+2α, prove that tanθ+α cotα=m+nm-n.                           [NCERT EXEMPLAR]

Answer:

Given: m sinθ=n sinθ+2α     

mn=sinθ+2αsinθ

Applying componendo and dividendo, we get

m+nm-n=sinθ+2α+sinθsinθ+2α-sinθm+nm-n=2sinθ+2α+θ2cosθ+2α-θ22sinθ+2α-θ2cosθ+2α+θ2m+nm-n=sinθ+α cosαsinα cosθ+αm+nm-n=tanθ+α cotα

tanθ+α cotα=m+nm-n



Page No 8.20:

Question 1:

If (cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2λ cos2α-β2, write the value of λ. 

Answer:

(cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2λ cos2α-β2

Consider LHS:
(cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2

= 2cos α+β2 cos α-β22 + 2sin α+β2 cos α-β22= 4cos2 α+β2 cos2 α-β2 + 4sin2 α+β2 cos2 α-β2= 4cos2 α-β2cos2 α+β2 + sin2 α+β2= 4cos2 α-β2= RHS

Page No 8.20:

Question 2:

Write the value of sin π12 sin 5π12.

Answer:

sin π12 sin 5π12

= 12× 2sinπ12 sin5π12 = 12cosπ12-5π12 - cosπ12+5π12            2sinA sinB = cos(A-B) - cos(A+B)= 12cos-π3  -  cosπ2= 1212 - 0= 14

Page No 8.20:

Question 3:

If sin A + sin B = α and cos A + cos B = β, then write the value of tan A+B2.

Answer:

Given:
sin A + sin B = α            .....(i)
cos A + cos B = β           .....(ii)
Dividing (i) by (ii):

 sinA+sinBcosA+cosB=αβ2sinA+B2cosA-B22cosA+B2cosA-B2 =αβ   sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2 and cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2sinA+B2cosA-B2cosA+B2cosA-B2=αβtanA+B2=αβ

Page No 8.20:

Question 4:

If cos A = m cos B, then write the value of cotA+B2 cotA-B2.

Answer:

Given:cosA=mcosBcosAcosB=m1 cosA+cosBcosA-cosB=m+1m-12cosA+B2cosA-B2-2sinA+B2sinA-B2  = m+1m-1       cosA+cosB=2cosA-B2cosA+B2 and cosA-cosB=-2sinA+B2cosA-B2cosA-B2cosA+B2-sinA+B2sinA-B2 = m+1m-1   -cotA+B2cotA-B2 = m+1m-1  

cotA+B2cotA-B2= 1+m1-m  

Page No 8.20:

Question 5:

Write the value of the expression 1-4 sin 10° sin 70°2 sin 10°.

Answer:

1-4sin10° sin70°2sin10°=1-22sin10° sin70°2sin10°=1-2cos10°-70° - cos10°+70°2sin10°=1-2cos-60° - cos80°2sin10°=1-2cos60° - cos80°2sin10°=1-212-cos90°-10°2sin10°=1-2×12+2cos90°-10°2sin10°=2sin10°2sin10°=1

Page No 8.20:

Question 6:

If A + B = π3 and cos A + cos B = 1, then find the value of cos A-B2.

Answer:

Given:
A + B = π3
and cos A + cos B = 1

2cosA+B2cosA-B2  =1             cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B22cosπ6cosA-B2=1              A+B=π32×32×cosA-B2=1cosA-B2=13

Page No 8.20:

Question 7:

Write the value of sinπ15sin4π15sin3π10

Answer:

π15=12°, 4π15= 48°, 3π10=54°sin12° sin48° sin54°=122sin12° sin48° sin54°=12cos12°-48°-cos12°+48° sin54°=12cos-36°-cos60° sin54°=12sin54°cos36°-12=12sin90°-36° cos36°-14sin90°-36°=12cos236° -14cos36°=125+142-5+116       cos36°=5+14=125+1+2516-5+116=6+2532-5+116=6+25-25-232=432=18



Page No 8.21:

Question 8:

If sin 2A = λ sin 2B, then write the value of λ+1λ-1.

Answer:

Given:
sin 2A = λ sin 2B

sin2Asin2B=λ

 sin2A+sin2Bsin2A-sin2B=λ+1λ-12sin2A+2B2cos2A-2B22sin2A-2B2cos2A+2B2= λ+1λ-1                  sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2 and sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2sinA+BcosA-BsinA-BcosA+B=λ+1λ-1tanA+BcotA-B=λ+1λ-1tanA+BtanA-B=λ+1λ-1

Page No 8.21:

Question 9:

Write the value of sin A+sin 3Acos A+cos 3A.

Answer:

 sinA+sin3AcosA+cos3A=2sinA+3A2cosA-3A22cosA+3A2cosA-3A2                  sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2, and cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2=sin2A cos-Acos2A cos-A=sin2A cosAcos2A cosA=tan 2A

Page No 8.21:

Question 10:

If cos (A + B) sin (CD) = cos (AB) sin (C + D), then write the value of tan A tan B tan C.

Answer:

cos (A + B) sin (CD) = cos (AB) sin (C + D)

[cosA cosB − sinA sinB] [sinC cosD − cosC sinD] =  [cosA cosB + sinA sinB] [sinC cosD + cosC sinD]
Dividing both sides by cos A cos B cos C cos D:cosA cosB-sinA sinBsinC cosD-cosC sinDcosA cosB cosC cosD=cosA cosB+sinA sinBsinC cosD+cosC sinDcosA cosB cosC cosDcosA cosB-sinA sinBcosA cosB×sinC cosD-cosC sinDcosC cosD=cosA cosB+sinA sinBcosA cosB×sinC cosD+cosC sinDcosC cosD1-tanA tanBtanC-tanD=1+tanA tanBtanC+tanDtanC-tanD-tanA tanB tanC+tanA tanB tanD=tanC+tanD+tanA tanB tanC+tanA tanB tanD-tanD-tanD=tanA tanB tanC+tanA tanB tanC-2tanD=2tanAtanBtanCtanAtanBtanC=-tanD

Page No 8.21:

Question 1:

cos 40° + cos 80° + cos 160° + cos 240° =
(a) 0

(b) 1

(c) 12

(d) -12

Answer:

(d) -12

cos40° + cos80° + cos160° + cos240°=2cos40°+80°2cos40°-80°2 + cos160° - cos180°+60°                cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2=2cos60° cos-20° + cos160° - 12=2×12cos20° + cos160° - 12=-cos180-20° + cos160° - 12=-12

Page No 8.21:

Question 2:

sin 163° cos 347° + sin 73° sin 167° =
(a) 0

(b) 12

(c) 1

(d) None of these

Answer:

(b) 12

sin163°cos347°+sin73°sin167°=sin180°-17°cos360°-13°+sin90°-17°sin180°-13°=sin17°cos13°+cos17°sin13°=sin17°+13°          sinA+B=sinAcosB+sinBcosA=sin30°=12

Page No 8.21:

Question 3:

If sin 2 θ + sin 2 ϕ = 12 and cos 2 θ + cos 2 ϕ = 32, then cos2 (θ − ϕ) =
(a) 38

(b) 58

(c) 34

(d) 54

Answer:

(b) 58
Given:
sin 2θ + sin 2ϕ = 12                  .....(i)
and
cos 2θ + cos 2ϕ = 32         .....(ii)

Squaring and adding (i) and (ii), we get:
(sin 2θ + sin 2ϕ)2 + (cos 2θ + cos 2ϕ)2 = 14+94

2sin2θ+2ϕ2cos2θ-2ϕ22 + 2cos2θ+2ϕ2cos2θ-2ϕ22=524sin2θ+ϕ cos2θ-ϕ + 4cos2θ+ϕ cos2θ-ϕ=524cos2θ-ϕsin2θ+ϕ+cos2θ+ϕ=524cos2θ-ϕ=52cos2θ-ϕ=58

Page No 8.21:

Question 4:

The value of cos 52° + cos 68° + cos 172° is
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3/2

Answer:

(a) 0

cos52° + cos68° + cos172°=2cos52°+68°2cos52°-68°2+cos172°    cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2=2cos60°cos-8°+cos172°=2×12cos8°+cos172°=cos8°+cos172°=2cos8°+172°2cos8°-172°2=2cos90°cos82°=0

Page No 8.21:

Question 5:

The value of sin 78° − sin 66° − sin 42° + sin 60° is
(a) 12

(b) -12

(c) −1

(d) None of these

Answer:

(d) None of these

sin78° - sin66° - sin42° + sin60°=sin78° - sin42° - sin66° + sin60°=2sin78°-42°2cos78°+422 - sin66° + sin60°   sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2=2sin18° cos60° - sin66° + sin60°=2×12sin18° - sin66° + 32=sin18°-sin66°+32=5-14-0.914+32=0.309-0.914+0.866=0.261

Page No 8.21:

Question 6:

If sin α + sin β = a and cos α − cos β = b, then tan α-β2=
(a) -ab

(b) -ba

(c) a2+b2

(d) None of these

Answer:

(b) -ba

Given:
sin α + sin β = a                  .....(i)
cos α − cos β = b                .....(ii)

Dividing (i) by (ii):

 sinα+sinBcosα-cosB=ab2sinα+β2cosα-β2-2sinα+β2sinα-β2 =ab   sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2 and cosA+cosB=-2sinA+B2sinA-B2sinα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2=abcotα-β2=-ab1cotα-β2=1-abtanα-β2=-ba

Page No 8.21:

Question 7:

cos 35° + cos 85° + cos 155° =
(a) 0

(b) 13

(c) 12

(d) cos 275°

Answer:

(a) 0

cos35° + cos85° + cos155°= 2cos35° + 85°2 cos35° - 85°2 + cos155°         cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2= 2cos60° cos-25° + cos155°= 2×12cos25° + cos155°= cos25° + cos155°= 2cos25°+155°2 cos25°-155°2= 2cos90° cos65°=0

Page No 8.21:

Question 8:

The value of sin 50° − sin 70° + sin 10° is equal to
(a) 1
(b) 0
(c) 1/2
(d) 2

Answer:

(b) 0

sin50° - sin70° + sin10°= 2sin50°-70°2 cos50°+70°2  + sin10°        sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2=2sin-10° cos60° + sin10°= 2×12sin-10° + sin10°= -sin10°+sin10°=0 

Page No 8.21:

Question 9:

sin 47° + sin 61° − sin 11° − sin 25° is equal to
(a) sin 36°
(b) cos 36°
(c) sin 7°
(d) cos 7°

Answer:

(d) cos 7°
sin47°+sin61°-sin11°-sin25°= sin47°-sin25°+sin61°-sin11°= 2sin47°-25°2cos47°+25°2+2sin61°-11°2cos61°+11°2= 2sin11°cos36°+2sin25°cos36°=2cos36°sin11°+sin25°=2cos36°2sin11°+25°2cos11°-25°2=4cos36°sin18°cos7°=4×5-145+14cos7°             cos36°=5+14 and sin18°=5-14=5-14cos7°=cos7°

Page No 8.21:

Question 10:

If cos A = m cos B, then cotA+B2 cotB-A2=
(a) m-1m+1

(b) m+2m-2

(c)m+1m-1

(d) None of these

Answer:

(c)m+1m-1


Given:cosA=mcosBcosAcosB=m1 cosA+cosBcosA-cosB=m+1m-12cosA-B2cosA+B2-2sinB+A2sinB-A2  = m+1m-1       cosA+cosB=2cosA-B2cosA+B2 and cosA-cosB=2sinA+B2cosB-A2cosB-A2cosA+B2sinA+B2sinB-A2= m+1m-1   cotA+B2cotB-A2= m+1m-1   

Page No 8.21:

Question 11:

If A, B, C are in A.P., then sin A-sin Ccos C-cos A=
(a) tan B
(b) cot B
(c) tan 2 B
(d) None of these

Answer:

(b) cot B

Since A,B and C are in A.P,
B-A=C-Bor, 2B=A+C

 sinA-sinCcosC-cosA=2sinA-C2cosA+C2-2sinC+A2sinC-A2    sinA-sinB=2sinA-B2cosA+B2 and cosA-cosB=-2sinA+B2cosA-B2=sinA-C2cosA+C2-sinA+C2sinC-A2

=sinA-C2cosA+C2sinA+C2sinA-C2=cosA+C2sinA+C2=cosBsinB=cotB



Page No 8.22:

Question 12:

If sin (B + CA), sin (C + AB), sin (A + BC) are in A.P., then cot A, cot B and cot C are in
(a) GP
(b) HP
(c) AP
(d) None of these

Answer:

(b) HP

Given:
sin (B + CA), sin (C + AB) and sin (A + BC) are in A.P.

sinC+A-B - sinB+C-A = sinA+B-C - sinC+A-B2sinC+A-B-B-C+A2 cosC+A-B+B+C-A2 = 2sinA+B-C-C-A+B2 cosA+B-C+C+A-B2sinA-B cosC = sinB-C cosAsinA cosB cosC - cosA sinB cosC = sinB cosCcosA - cosB sinC cosA2sinB cosA cosC = sinA cosB cosC + cosA cosB sinCDividing both sides by cos AcosBcosC:2tanB=tanA+tanC 2cotB=1cotA+1cotC    

Hence, cotA, cotB and cotC are in HP.

Page No 8.22:

Question 13:

If sin x + sin y = 3 (cos y − cos x), then sin 3x + sin 3y =
(a) 2 sin 3x
(b) 0
(c) 1
(d) none of these

Answer:

We have,
sin x + sin y = 3 (cos y − cos x)

2sinx+y2 cosx-y2 = 23sinx+y2 sinx-y22sinx+y2cosx-y2-23sinx+y2sinx-y2=02sinx+y2cosx-y2-3sinx-y2=0sinx+y2cosx-y2-3sinx-y2=0sinx+y2=0 or, cosx-y2-3sinx-y2=0x+y2=0       or, tanx-y2=13=tanπ6x=-y             or, x-y2=π6x=-y             or, x-y=π3
Case-I
When x=-y
In this case,
sin3x+sin3y=sin-3y+sin3y=-sin3y+sin3y=0
Case-II 
when x-y=π3
or, 3x=π+3ySo, sin 3x+sin 3y= sinπ+3y+sin 3y                               =-sin 3y+sin 3y                               =0   

Page No 8.22:

Question 14:

If tanα=xx+1 and tanβ=12x+1, then α+β is equal to

(a) π2                                  (a) π3                                  (a) π6                                  (a) π4                              

Answer:

It is given that tanα=xx+1 and tanβ=12x+1.

Now,

tanα+β=tanα+tanβ1-tanα tanβ                 =xx+1+12x+11-xx+1×12x+1                 =x2x+1+x+1x+12x+1x+12x+1-xx+12x+1                 =2x2+x+x+12x2+3x+1-x
                 =2x2+2x+12x2+2x+1=1

tanα+β=1=tanπ4α+β=π4

Hence, the correct answer is option D.



Page No 8.6:

Question 1:

Express each of the following as the sum or difference of sines and cosines:
(i) 2 sin 3x cos x
(ii) 2 cos 3x sin 2x
(iii) 2 sin 4x sin 3x
(iv) 2 cos 7x cos 3x

Answer:

(i)
2sin 3x cos x=sin 3x+x+sin 3x-x    2sin A cos B=sin(A+B)+sin(A-B)=sin 4x + sin 2x

(ii)
2cos 3x sin 2x=sin 3x+2x-sin 3x-2x    2 cos A sin B=sin(A+B)-sin(A-B)=sin 5x - sin x

(iii)
2sin 4x sin 3x=cos 4x-3x-cos 4x+3x    2 sin A sin B=cos(A-B)-cos(A+B)=cos x - cos 7x

(iv)
2cos 7x cos 3x=cos 7x+3x+cos 7x-3x    2 cos A cos B=cos(A+B)+cos(A-B)=cos 10x + cos 4x

Page No 8.6:

Question 2:

Prove that:
(i) 2sin5π12sinπ12=12

(ii) 2cos5π12cosπ12=12

(iii) 2sin5π12cosπ12=3+22

Answer:

(i)
LHS =  2sin 5π12 sin π12 = cos 5π12 - π12 - cos 5π12 + π12    2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)= cos π3 - cos π2= 12 - 0= 12RHS = 12Hence, LHS = RHS

(ii)
LHS = 2cos 5π12 cos π12 = cos 5π12 + π12 + cos 5π12 - π12    2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)= cos π2 + cos π3= 0 + 12= 12RHS = 12Hence, LHS = RHS

(iii)
LHS = 2sin 5π12 cos π12 = sin 5π12 + π12 + sin 5π12 - π12    2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)= sin π2 + sin π3= 1 + 32= 2 + 32RHS = 2 + 32Hence, LHS = RHS

Page No 8.6:

Question 3:

Show that :
(i) sin 50° cos 85°=1-2 sin 35°22

(ii) sin 25° cos 115°=12sin 140°-1

Answer:

(i)

LHS = 2 sin 50° cos 85°= sin 50° + 85° + sin 50° - 85°2    sin A cos B=12sin (A + B) + sin (A - B)= sin 135° + sin -35°2= sin 135° - sin 35°2= cos 45° - sin 35°2     sin 90° + 45° = cos 45°= 1212 - sin 35°= 121 - 2sin 35°2= 1 - 2sin 35°22RHS = 1-2sin 35°22Hence, LHS = RHS

(ii)

LHS =  2sin 25° cos 115°= sin 25°+115° + sin 25°-115°2    sin A cos B = 12sin (A + B) + sin (A - B)= sin 140° + sin -90°2= sin 140° - sin 90°2= sin 140° - 12    RHS = sin 140°-12Hence, LHS = RHS



Page No 8.7:

Question 4:

Prove that 4 cos x cosπ3+x cos π3-x=cos 3x.

Answer:

LHS = 4cos x cos π3 + x cos π3 - x= 2cos x2 cos π3 + x cos π3 - x= 2cos xcos π3 + x + π3 - x + cos π3 + x - π3 + 2x             2cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)= 2cos xcos 2π3 + cos 2x= 2cos x-12 + cos 2x= -cos x + 2cos x cos 2x= -cos x + cos x + 2x + cos x - 2x= -cos x + cos 3x + cos-x= -cos x + cos 3x + cos x= cos 3xRHS = cos 3xHence, LHS = RHS

Page No 8.7:

Question 5:

Prove that:
(i) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70° = 316

(ii) cos 40° cos 80° cos 160° = -18

(iii) sin 20° sin 40° sin 80° = 38

(iv) cos 20° cos 40° cos 80° = 18

(v) tan 20° tan 40° tan 60° tan 80° = 3

(vi) tan 20° tan 30° tan 40° tan 80° = 1

(vii) sin 10° sin 50° sin 60° sin 70° = 316

(viii) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 316

Answer:

(i)

LHS = cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°= 12 2cos 10° cos 50° cos 30° cos 70°= 12 cos 10° + 50° + cos 10° - 50° cos 30° cos 70°                 2cos A cos B = cosA + B - cos A - B= 12 cos 60° + cos -40° cos 30° cos 70°= 12 12 + cos 40°32×cos 70°

= 34cos 70°12 + cos 40°= 38cos 70° + 34cos 70° cos 40°= 38cos 70° + 382cos 70° cos 40°= 38cos 70° + 38cos 70° + 40° + cos 70° - 40°= 38cos 70° + 38cos 110°+cos 30°= 38cos 70° + 38cos 180° - 70° + 32= 32cos 70° - 38cos 70° + 316           cos 180° - 70° = -cos 70°= 316 = RHS



(ii)
LHS = cos 40° cos 80° cos 160°= 122cos 40° cos 80° cos 160°= 12cos 40° + 80° + cos 40° - 80° cos 160°= 12cos 120° + cos -40° cos 160°= 12cos 160°-12 + cos 40°= -14cos 160° + 12cos 160° cos 40°
= -14cos 160° + 142cos 160° cos 40°= -14cos 160° +14cos 160° + 40° + cos 160° - 40°= -14cos 160° + 14cos 200° + cos 120°= -14cos 160° + 14cos 360°-160° -12= -14cos 160° + 14cos 160° - 18       cos 360° - 160° = cos 160°= -18 = RHS



(iii)
LHS = sin 20° sin 40° sin 80°=122sin 20° sin 40°sin 80°=12cos 20° - 40° - cos 20° + 40° sin 80°=12cos 20° - 12 sin 80°=12sin 80°cos 20° - 12=12sin 80° cos 20° - 14sin 80°=12sin 90° - 10° cos 20° - 14sin 80°=12cos 10° cos 20° - 14sin 80°

= 142cos 10° cos 20° - 14sin 80°=14cos 10° + 20° + cos 10° - 20° - 14sin 80°=14cos 30° + cos -10° - 14sin 80°=14cos 30° + cos 90°-80° -14sin 80°=38+14sin 80° - 14sin 80°                        cos 90° - 80° = sin 80°=38 = RHS



(iv)

LHS = cos 20° cos 40° cos 80°=122cos 20° cos 40° cos 80°=12cos 20° + 40° + cos20° - 40° cos 80°=12cos 60° + cos -20° cos 80°=12cos 80°12 + cos 20°=14cos 80° + 12cos 80° cos 20°

= 14cos 80° + 142cos 80° cos 20°= 14cos 80° + 14cos 80° + 20° + cos 80° - 20°= 14cos 80° + 14cos 100° + cos 60°= 14cos 80° + 14cos 180° - 80° + 12= 14cos 80° - 14cos 80° + 18                 cos 180° - 80° = -cos 80°= 18 = RHS



(v)
LHS = tan 20° tan 40° tan 60° tan 80°
=tan 60°sin 20° sin 40° sin 80°cos 20° cos 40° cos 80°=3 × 122sin 20° sin 40°sin 80°122cos 20° cos 40°cos 80°=3×12cos 20° - 40° - cos 20° + 40° sin 80°12cos 20° + 40° + cos20° - 40° cos 80°=3×12cos -20° - cos 60° sin 80°12cos 60° + cos-20° cos 80°=3×12sin 80°cos 20° - 1212cos 80°12 + cos 20°=3×12sin 80° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos20°=3×12sin 90° - 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°=3×12cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°


= 3×142cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 142cos 80° cos 20°= 3×14cos 10° + 20° + cos 10°-20°-14sin 80°14cos 80° + 14cos 80° + 20° + cos 80° - 20°= 3×14cos 30° + cos -10° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 100° + cos 60°= 3×14cos 30° + cos 90° - 80° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 180° - 80° + 12= 3×38 + 14sin 80° - 14sin 80°   14cos 80° - 14cos 80° + 18       cos 90° - 80° = sin 80°, and cos180°-80°=-cos80°= 3×3818= 3 =  RHS


(vi)
LHS = tan 20° tan 30° tan 60° tan 80°
=tan 30°sin 20° sin 40° sin 80°cos 20° cos 40° cos 80°=13×122sin 20° sin 40°sin 80°122cos 20° cos 40°cos 80°=13×12cos 20° - 40° - cos 20° + 40°sin 80°12cos 20° + 40° + cos 20° - 40°cos 80°=13×12cos 20° - 12sin 80°12cos 60° + cos -20°cos 80°=13×12sin 80°cos 20°- 1212cos 80°12 + cos 20°=13×12sin 80° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°=13×12sin 90° - 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°=13×12cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°

=3×142cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 142cos 80° cos 20°=3×14cos 10° + 20° + cos 10° - 20° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 80° + 20° +cos 80° - 20°=3×14cos 30° + cos -10° -14sin 80°14cos 80°+14cos 100° + cos 60°=3×14cos 30° + cos 90° -80° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 180° - 80° + 12=3×38 + 14sin 80° - 14sin 80° 14cos 80° -14cos80°+18                cos 90° - 80° = sin  80°, cos 180° - 80° =-cos 80°=3×3818= 3 = RHS

(vii)

LHS = sin 10° sin 50° sin 60° sin 70°=12sin 60° 2sin 10° sin 50°sin 70°=12×32cos 10° - 50° - cos 10° + 50°sin 70°=34cos -40° - 12sin 70°=34sin 70°cos 40° - 12=34sin 70° cos 40° - 38sin 70°=34sin 90° - 20° cos 40° - 38sin 70°=34cos 20° cos 40° - 38sin 70°

=382cos 20° cos 40° - 38sin 70°=38cos 20° +40° + cos 20° - 40° - 38sin 70°=38cos 60° + cos -20° -38sin 70°=38cos 60° + cos 90° - 70° - 38sin 70°=316+38sin 70° - 38sin 70°   cos 90° - 70° = sin 70°=316=RHS


(viii)

LHS = sin 20° sin 40°sin 60° sin 80°=12sin 60° 2sin 20° sin 40°sin 80°=12×32cos 20° - 40° - cos 20° + 40°sin 80°=34cos 20° - 12sin 80°=34sin 80°cos 20° - 12=34sin 80° cos 20° - 38sin 80°=34sin 90°-10°cos 20°-38sin 80°=34cos 10° cos 20° - 38sin80°
=382cos 10° cos 20° - 38sin 80°=38cos 10° + 20° + cos 10° - 20° -38sin 80°=38cos 30° + cos -10° - 38sin 80°=38cos 30° + cos 90°-80°-38sin 80°=316+38sin 80° -38sin 80°             cos 90° - 80° = sin 80°=316 = RHS

Page No 8.7:

Question 6:

Show that:
(i) sin A sin (BC) + sin B sin (CA) + sin C sin (AB) = 0
(ii) sin (BC) cos (AD) + sin (CA) cos (BD) + sin (AB) cos (CD) = 0

Answer:

(i)

Consider LHS:sin A sin B- C + sin B sin C -A + sin C sin A - B= 122sin A sin B - C + 122sin B sin C - A + 122sin C sin A - B= 12cos A - B - C - cos A + B - C + 12cos B - C - A - cos B + C - A + 12cos C - A - B -cos C + A - B= 12cos A - B + C - cos A + B - C + 12cos B - C + A - cosB + C - A + 12cosC - A + B - cosC + A - B= 12cosA - B + C - 12cos A + B- C + 12cos B - C + A - 12cos B + C - A + 12cos C - A + B - 12cosC + A - B= 12cosA - B + C - 12cosA + B - C + 12cosA + B - C - 12cosB + C - A + 12cosB + C - A - 12cosA - B + C= 0= RHS

(ii)

Consider LHS:sin B - C cos A - D + sin C - A cos B - D + sin A - B cos C - D

= 122sin B - C cos A -D + 122sin C - A cos B - D+122sin A - B cosC- D= 12sin B - C + A - D + sin B - C - A - D + 12sin C - A + B - D + sin C - A - B - D + 12sin A - B + C - D+ sin A - B - C - D= 12sin B - C + A - D + sin B - C - A + D + 12sin C - A + B - D + sin C - A - B +D + 12sin A - B + C - D + sin A - B - C + D=12sin B - C + A - D + sin B - C - A + D + 12sin --C + A - B + D + sin --C + A+ B - D + 12sin--A + B - C + D + sin A - B- C + D=12sinB-C+A-D+12sinB-C-A+D-12sin-C+A-B+D-12sin-C+A+B-D-12sin-A+B-C+D+12sinA-B-C+D=0= RHS

Page No 8.7:

Question 7:

Prove that tan x tan π3-x tan π3+x=tan 3x

Answer:

π3=60°
LHS = tanx tan60°-xtan60°+x=sinx sin60°-xsin60°+xcosx cos60°-xcos60°+x

=sinxsin260°-sin2xcosxcos260°-sin2x=sinx34-sin2xcosx14-sin2x=sinx3-4sin2xcosx1-4sin2x

=3sinx-4sin3x4cos3x-3cosx=sin3xcos3x=tan3x=RHS

Page No 8.7:

Question 8:

If α + β = π2, show that the maximum value of cos α cos β is 12.

Answer:

π2=90°
Let x = cos α cos βx = 122cos α cos βx = 12cos α + β + cos α - βx = 12cos α - β + cos 90°x = 12cos α - βNow,-1  cos α - β  1-1212cosα-β12-12x12-12  cos α cos β  12Hence,  12 is the maximum value of cos α cos β.



View NCERT Solutions for all chapters of Class 12