If a triangle is formed by any three tangents of the parabola y²=4ax, two of whose vertices lie on the parabola x²=4by, then find the locus of the third vertex.

Dear student,

Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{Using} \mathrm{the} \mathrm{parametrization} \left({\mathrm{at}}^2, 2\mathrm{at}\right), \mathrm{let} \mathrm{the} \mathrm{three} \mathrm{points} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{parabola} {\mathrm{y}}^2=4\mathrm{ax} \mathrm{is} \mathrm{be} \\ \left({\mathrm{ap}}^2, 2\mathrm{ap}\right), \left({\mathrm{aq}}^2, 2\mathrm{aq}\right), \left({\mathrm{ar}}^2, 2\mathrm{ar}\right) \\ \mathrm{First} \mathrm{find} \mathrm{the} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{tangent} \mathrm{at} \left({\mathrm{ap}}^2, 2\mathrm{ap}\right) \\ \mathrm{The} \mathrm{slope} \mathrm{of} \mathrm{tangent} \mathrm{to} {\mathrm{y}}^2=4\mathrm{ax} \mathrm{at} \left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right) \mathrm{is}, \\ 2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}= 4\mathrm{a} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2\mathrm{a}}{\mathrm{y}} \\ \mathrm{At} \mathrm{the} \mathrm{point} \left({\mathrm{ap}}^2, 2\mathrm{ap}\right), \mathrm{the} \mathrm{slope} \mathrm{of} \mathrm{tangent} \mathrm{is}, \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2\mathrm{a}}{2\mathrm{ap}}=\frac{1}{\mathrm{p}} \\ \mathrm{So} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{tanegnt} \mathrm{at} \left({\mathrm{ap}}^2, 2\mathrm{ap}\right) \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by}, \\ \mathrm{y}-2\mathrm{ap}=\frac{1}{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}-{\mathrm{ap}}^2\right) \\ \mathrm{py}-2{\mathrm{ap}}^2=\mathrm{x}-{\mathrm{ap}}^2 \\ \mathrm{py}=\mathrm{x}-{\mathrm{ap}}^2+2{\mathrm{ap}}^2 \\ \mathrm{py}=\mathrm{x}+{\mathrm{ap}}^2 \\ \mathrm{In} \mathrm{a} \mathrm{similar} \mathrm{way}, \mathrm{the} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{other} \mathrm{two} \mathrm{tangents} \mathrm{are}, \\ \mathrm{qy}=\mathrm{x}+{\mathrm{aq}}^2 \\ \mathrm{ry}=\mathrm{x}+{\mathrm{ar}}^2 \\ \mathrm{Find} \mathrm{the} \mathrm{intersection} \mathrm{points} \mathrm{of} \mathrm{these} \mathrm{tangents} \mathrm{to} \mathrm{get}, \\ \left(\mathrm{apq},\mathrm{a}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right)\right), \left(\mathrm{apr},\mathrm{a}\left(\mathrm{p}+\mathrm{r}\right)\right) , \left(\mathrm{aqr},\mathrm{a}\left(\mathrm{q}+\mathrm{r}\right)\right) \\ \mathrm{Since} \mathrm{the} \mathrm{first} \mathrm{two} \mathrm{points} \mathrm{lie} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{parabola} {\mathrm{x}}^2=4\mathrm{by}, \mathrm{we} \mathrm{get} \\ {\mathrm{a}}^2{\mathrm{p}}^2{\mathrm{q}}^2=4\mathrm{ab}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right) .....\left(1\right) \\ {\mathrm{a}}^2{\mathrm{p}}^2{\mathrm{r}}^2=4\mathrm{ab}\left(\mathrm{p}+\mathrm{r}\right) .....\left(2\right) \\ \mathrm{The} \mathrm{intersection} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{remaining} \mathrm{pair} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by} \\ \mathrm{x}=\mathrm{aqr} .....\left(3\right) \\ \mathrm{y}=\mathrm{a}\left(\mathrm{q}+\mathrm{r}\right) .....\left(4\right) \\ \mathrm{The} \mathrm{lcous} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{third} \mathrm{vertex} \mathrm{is} \mathrm{found} \mathrm{by} \mathrm{elininating} \mathrm{p},\mathrm{q},\mathrm{r} \mathrm{from} \left(1\right)-\left(4\right) \\ \mathrm{Apply} \left(1\right)-\left(2\right) \mathrm{to} \mathrm{get}, \\ {\mathrm{a}}^2{\mathrm{p}}^2\left({\mathrm{q}}^2-{\mathrm{r}}^2\right)=4\mathrm{ab}\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{a}}^2{\mathrm{p}}^2\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{r}\right)=4\mathrm{ab}\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{p}}^2=\frac{4\mathrm{ab}\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right)}{{\mathrm{a}}^2\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{r}\right)} \\ \Rightarrow {\mathrm{p}}^2=\frac{4\mathrm{b}}{\mathrm{a}\left(\mathrm{q}+\mathrm{r}\right)} \\ \Rightarrow {\mathrm{p}}^2=\frac{4\mathrm{b}}{\mathrm{y}} \left(\mathrm{using} \left(4\right)\right) \\ \mathrm{Apply} \left(1\right)÷\left(2\right) \mathrm{to} \mathrm{get}, \\ \frac{{\mathrm{q}}^2}{{\mathrm{r}}^2}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}}{\mathrm{p}+\mathrm{r}} \\ \Rightarrow {\mathrm{q}}^2\left(\mathrm{p}+\mathrm{r}\right)={\mathrm{r}}^2\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{q}}^2\mathrm{p}+{\mathrm{q}}^2\mathrm{r}={\mathrm{r}}^2\mathrm{p}+{\mathrm{r}}^2\mathrm{q} \\ \Rightarrow {\mathrm{q}}^2\mathrm{p}-{\mathrm{r}}^2\mathrm{p}={\mathrm{r}}^2\mathrm{q}-{\mathrm{q}}^2\mathrm{r} \\ \Rightarrow \mathrm{p}\left({\mathrm{q}}^2-{\mathrm{r}}^2\right)=-\mathrm{qr}\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{p}\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{r}\right)=-\mathrm{qr}\left(\mathrm{q}-\mathrm{r}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{p}=-\frac{\mathrm{qr}}{\mathrm{q}+\mathrm{r}} \\ \Rightarrow \mathrm{p}=-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}} \left(\mathrm{using} \left(3\right) \& \left(4\right)\right) \\ \mathrm{This} \mathrm{frther} \mathrm{gives}, \\ \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{y}}^2}=\frac{4\mathrm{b}}{\mathrm{y}}\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=4\mathrm{by} \\ \mathrm{So} \mathrm{the} \mathrm{third} \mathrm{vertex} \mathrm{lies} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{same} \mathrm{parabola}. \end{gathered}$$

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