Help in this Q dear experts plz 20 In a game A throws - Maths - Probability

Question

Help in this Q dear experts plz

20 In a game A throws two ordinary dice If he throws 7 or 11 he
wins If he throws 2, 3 or 12 he loses If he throws
any other number, he throws again and continues to throw until
either the number he threw first or 7 turns up In the first
case he wins and in the second he loses Show that the odds against
his winnings is 251 : 244

Shruti Tyagi · Accepted Answer

Dear student,

we start by finding the probability of winning at the first roll, i
e obtaining 7 or 11P(7)=1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1P(7)=636=16Now, P(11)=5,6, 6,5 P(11)=236=118So, probability of winning on first roll =16+118=29
Now, we will find the probability of losing at the first roll i
e getting 2,3,12P(2)=1,1 = 136P(3)=(2,1), (1,2) = 236P(12)=6,6=136probability of losing on first roll=136+236+136=19probability of making a point  will be=1-29-19=23the individual probabilities for numbers 4,5,8,9,10 are

P(4)=3/36 = 1/12
P(5)=4/36 = 1/9
P(6)= 5/36
P(8)= 5/36
P(9)= 1/9
P(10)=1/12

3,1
4,1
5,1
6,2
6,3
6,4

2,2
3,2
4,2
5,3
5,4
5,5

1,3
2,3
3,3
4,4
4,5
4,6

1,4
1,5
2,6
3,6

2,4
3,5

Now ADD these probabilities
    P(4∪5∪6∪8∪9∪10) = 3/36 + 4/36 + 5/36 + 5/36 + 4/36 + 3/36 =  24/36= 2/3   (as we have already shown above)
This is the probability of making a point
  We now consider the individual probabilities depending on which 'point' has been obtained
  (E G
, probability of getting 4 as the 'point' = 112)The probability of gaining 4 as the 'point'   = 112       probability of getting 7= 16   probability of  game continuing  = 1 - 112 - 16 = 34So the probability of winning in this case is    (112) + (34)×(112) + (34)2×(112) + 
 to infinity    = (112)[1 + (34) + (34)2 + 
 to infinity]    = (112)[11 - 34]  = (112)(4) =  13So the total probability of gaining the 'point' 4 and then winning    = (112) (13)This will be the same probability if the initial 'point' was 10
If the 'point' was 5 or 9 the initial probability of 5 or 9 is 1/9 and the probability of continuing thereafter is 1 - 1/9 - 1/6 =  13/18 and by the same argument as above the probability of winning is    (19)[1(1 - 1318)] = (19)(185) = 25 and the total probability    is (19)(25) If the 'point' is 6 or 8 the probability of continuing is 1 - 536 -  16 = 2536 and the probability of winning is    (536)×[11 - 2536]  = (536)×(3611) = 511 and the total   probability is (536)×(511)We can now find the overall total probability of winning    = 29 + 2[(112)×(13) + (19)×( 25)+ (536)×(511)]    = 244/495⇒probability of odd=495-244=251thusoddwinning=251244

Regards

P(4)=3/36 = 1/12	P(5)=4/36 = 1/9	P(6)= 5/36	P(8)= 5/36	P(9)= 1/9	P(10)=1/12
3,1	4,1	5,1	6,2	6,3	6,4
2,2	3,2	4,2	5,3	5,4	5,5
1,3	2,3	3,3	4,4	4,5	4,6
	1,4	1,5	2,6	3,6
		2,4	3,5