in any triangle ABC show that area of triangle ABC = s(s-a) tanA/2 =s(s-b) tanB/2 =s(s-c) tan C/2 

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c} \mathrm{are} \mathrm{sides} \mathrm{and} \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C} \mathrm{represents} \mathrm{angle} \mathrm{corresponding} \mathrm{to} \mathrm{sides} \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}, \\ \mathrm{then} \mathrm{in} ∆\mathrm{ABC}, \mathrm{we} \mathrm{have}: \\ \tan \left(\frac{\mathrm{A}}{2}\right)=\sqrt{\frac{\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)}} \\ \tan \left(\frac{\mathrm{B}}{2}\right)=\sqrt{\frac{\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)}} \\ \tan \left(\frac{\mathrm{C}}{2}\right)=\frac{\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)} \\ \mathrm{By} \mathrm{Heron}\text{'}\mathrm{s} \mathrm{formula} \\ \mathrm{Area}=\sqrt{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}=\sqrt{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}=\sqrt{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)} \\ =\sqrt{\frac{{\mathrm{s}}^2{\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)}^2\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{s}}^2\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right){\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)}^2\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{s}}^2\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right){\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}^2}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}} \\ =\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\sqrt{\frac{\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)}}=\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)\sqrt{\frac{\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)}}=\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)\sqrt{\frac{\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right)}{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right)}} \\ =\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{a}\right).\tan \left(\frac{\mathrm{A}}{2}\right)=\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{b}\right).\tan \left(\frac{\mathrm{B}}{2}\right)=\mathrm{s}\left(\mathrm{s}-\mathrm{c}\right).\tan \left(\frac{\mathrm{C}}{2}\right) \\ \mathrm{Hence} \\ \mathbf{Area}\mathbf{ }\mathbf{of}\mathbf{ }\mathbf{triangle}\mathbf{ }\mathbf{ABC}\mathbf{=}\mathbf{s}\left(\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{a}\right)\mathbf{.}\mathbf{tan}\left(\frac{\mathbf{A}}{\mathbf{2}}\right)\mathbf{=}\mathbf{s}\left(\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{b}\right)\mathbf{.}\mathbf{tan}\left(\frac{\mathbf{B}}{\mathbf{2}}\right)\mathbf{=}\mathbf{s}\left(\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{c}\right)\mathbf{.}\mathbf{tan}\left(\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{2}}\right) \end{gathered}$$
​

Hope this information will clear your doubts about this topic.

If you have any doubts just ask here on the ask and answer forum and our experts will try to help you out as soon as possible.
Regards