​Prove that cos^​3 Acos 3A + sin³A sin 3A= cos^​32A

Dear Student,

LHS = cos³A cos3A + sin³A sin3A 
       = cos^​3A (4cos³A - 3cosA) + sin³A (3sinA - 4sin³A)      (using identities of cos3A and sin3A)
      = 4cos⁶A - 3cos⁴A + 3sin⁴A - 4sin⁶A 
     = 4 (​cos⁶A - ​sin⁶A) + 3 (​sin⁴A - ​cos⁴A)     
     = 4 ( (cos²A)³ - (sin²A)³) + 3 ( (sin²A)² - (cos²A)² )
    = 4 [ (​cos²A - ​sin²A) (​cos⁴A + ​cos²A​sin²A + ​sin⁴A)] + 3 [(sin²A+cos²A)(sin²A - cos²A)]  

                                                                                                        using a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²) and a²-b²=(a-b)(a+b)

  = 4 [ cos2A ((sin²A+cos²A)² - cos²A​sin²A) ] + 3 [ 1 (-cos2A)]
 = 4 [cos2A (1 - ​​cos²A​sin²A )] - 3 cos2A
= 4cos2A - 4cos2A ​cos²A​sin²A - 3cos2A                                       
= cos2A - 4cos2A  ​cos²A​sin²A                                                         
= cos2A (1 - 4​cos²A​sin²A )
= cos2A (1 - sin²2A)                                         ​  (Since 2sinA cosA = sin2A )
= cos2A cos²2A
= cos³2A
= RHS

Hence proved

Regards