Show that the points (9,1),(7,9),(-2,12) and (6,10) are concyclic.

Dear Student,
Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have}: \\ \mathrm{A}\left(9,1\right) \mathrm{B}\left(7,9\right) \mathrm{C}\left(-2,12\right) \mathrm{and} \mathrm{D}\left(6,10\right) \\ \mathrm{As} \mathrm{unique} \mathrm{circle} \mathrm{passes} \mathrm{through} \mathrm{three} \mathrm{points}, \mathrm{hence} \mathrm{we} \mathrm{will} \mathrm{first} \mathrm{find} \\ \mathrm{circle} \mathrm{passing} \mathrm{through} \mathrm{A}\left(9,1\right) \mathrm{B}\left(7,9\right) \mathrm{C}\left(-2,12\right) \\ \mathrm{Let} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{circle} \mathrm{be} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{Put} \mathrm{A}\left(9,1\right) \\ 81+1+18\mathrm{g}+2\mathrm{f}+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow 18\mathrm{g}+2\mathrm{f}+82=-\mathrm{c}....\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{Put} \mathrm{B}\left(7,9\right) \\ 49+81+14\mathrm{g}+18\mathrm{f}+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow 14\mathrm{g}+18\mathrm{f}+130=-\mathrm{c}....\left(\mathrm{ii}\right) \\ \mathrm{Put} \mathrm{C}\left(-2,12\right) \\ 4+144-4\mathrm{g}+24\mathrm{f}+\mathrm{c}=0 \\ \Rightarrow -4\mathrm{g}+24\mathrm{f}+148=-\mathrm{c} ...\left(\mathrm{iii}\right) \\ \mathrm{By} \left(\mathrm{i}\right) \mathrm{and} \left(\mathrm{ii}\right) \\ 18\mathrm{g}+2\mathrm{f}+82=14\mathrm{g}+18\mathrm{f}+130 \\ \Rightarrow 4\mathrm{g}-16\mathrm{f}=130-82=48 \\ \mathrm{Divide} \mathrm{each} \mathrm{term} \mathrm{by} 4 \\ \mathrm{g}-4\mathrm{f}=12 ;\left(\mathrm{iv}\right) \\ \mathrm{By} \left(\mathrm{ii}\right) \mathrm{and} \left(\mathrm{iii}\right) \\ 14\mathrm{g}+18\mathrm{f}+130=-4\mathrm{g}+24\mathrm{f}+148 \\ \Rightarrow 18\mathrm{g}-6\mathrm{f}=148-130=18 \\ \mathrm{Divide} \mathrm{each} \mathrm{term} \mathrm{by} 6, \mathrm{we} \mathrm{get}: \\ \Rightarrow 3\mathrm{g}-\mathrm{f}=3 ....\left(\mathrm{v}\right) \\ \left(\mathrm{v}\right)-3\times \left(\mathrm{iv}\right) \\ 3\mathrm{g}-\mathrm{f}-3\mathrm{g}+12\mathrm{f}=3-36 \\ \Rightarrow 11\mathrm{f}=-33 \\ \Rightarrow \mathrm{f}=-3 \\ \mathrm{Put} \mathrm{in} \left(\mathrm{v}\right) \\ 3\mathrm{g}+3=3 \\ \Rightarrow 3\mathrm{g}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{g}=0 \\ \mathrm{Put} \mathrm{g}=0 \mathrm{and} \mathrm{f}=-3 \mathrm{in} \left(\mathrm{i}\right) \\ 0-6+82=-\mathrm{c} \\ \Rightarrow -\mathrm{c}=76 \\ \Rightarrow \mathrm{c}=-76 \\ \mathrm{Hence} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 \mathrm{becomes} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+0-6\mathrm{y}-76=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}-76=0 \\ \mathrm{If} \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D} \mathrm{are} \mathrm{concyclic}, \mathrm{then} \mathrm{D}\left(6,10\right) \mathrm{must} \mathrm{satisfy} \mathrm{obtained} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{circle}. \\ \mathrm{Put} \mathrm{D}\left(6,10\right) \mathrm{in} \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}. \\ 36+100-60-76 \\ =136-136 \\ =0=\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}. \\ \mathrm{Hence} \mathrm{D} \mathrm{lies} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{circle}. \\ \mathbf{Hence}\mathbf{ }\mathbf{points}\mathbf{ }\mathbf{A}\left(\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{1}\right)\mathbf{ }\mathbf{B}\left(\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{9}\right)\mathbf{ }\mathbf{C}\left(\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{12}\right)\mathbf{ }\mathbf{and}\mathbf{ }\mathbf{D}\left(\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{10}\right)\mathbf{ }\mathbf{are}\mathbf{ }\mathbf{concyclic}\mathbf{.} \end{gathered}$$

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