Q.9. A function 'f' is defined for all real numbers and satisfies f (2 +  x) = f (2 -  x) and f (7 +  x) = f (7 -  x) for all real x. If x = 0 is a root of f (x) = 0, then find least number of roots of f (x) = 0 for x [- 1000, 1000].

f2+x=f2-x _______________1From above equation one can infer that fx is symmetric about x=2 line as x units on either side of 2 f has same value.Also f7+x=f7-xSimilarly x units on either side of 7 f has same value. Thus it is symmetric about x=7 line too.A fuction is symmetric about line x=2 as wels as x=7. Now that is only possible if function is periodic.We can proove this toof7+x=f7-xReplace x by x-5 in above equationf7+x-5=f7-x-5f2+x=f12-xFrom equation 1f2-x=f12-xNow replace x by -xf2+x=f12+xNow replace x by x-2fx=fx+10Therefore 10 is a period of function fxf0=f10=f20=....=f1000We need to find number of terms in A.P.  10, 20, 30,.....,1000a1=10d=10an=a1+n-1d=100010+n-1×10=1000n-1=99n=100Alsof0=f-10=f-20=....=f-1000Here also in -10,-20,-30,......,-1000we have total 100 termsTherefore total number of roots=100+100+1=201At last we have added 1 because we also need to count the root at x=0

  • -1
What are you looking for?