Rd Sharma XII Vol 2 2018 Solutions for Class 12 Science Math Chapter 7 Scalar Triple Product are provided here with simple step-by-step explanations. These solutions for Scalar Triple Product are extremely popular among Class 12 Science students for Math Scalar Triple Product Solutions come handy for quickly completing your homework and preparing for exams. All questions and answers from the Rd Sharma XII Vol 2 2018 Book of Class 12 Science Math Chapter 7 are provided here for you for free. You will also love the ad-free experience on Meritnation’s Rd Sharma XII Vol 2 2018 Solutions. All Rd Sharma XII Vol 2 2018 Solutions for class Class 12 Science Math are prepared by experts and are 100% accurate.

Page No 26.16:

Question 1:

Evaluate the following:
(i) i^ j^ k^+j^ k^ i^+k^ i^ j^

(ii) 2i^ j^ k^+i^ k^ j^+k^ j^ 2i^

Answer:

i We havei^ j^ k^+ j^ k^ i^+ k^ i^  j^= i^ j^ k^+ i^ j^ k^+ i^ j^ k^              a b c=b c a=c a b=3 i^ j^ k^=3i^×j^. k^                                     a b c=a× b.c=3 k^. k^=31=3

ii We have2i^ j^ k^+ i^ k^  j^+ k^  j^ 2i^=2 i^ j^ k^+ i^ k^  j^+2 k^  j^ i^                     la mb nc=lmn a b c=2i^×j^. k^ +i^× k^. j^+2k^ × j^. i^            a b c=a× b.c=2 k^. k^+- j^.  j^+2-i^.i^=21+-1+2-1=2-1-2=-1

Page No 26.16:

Question 2:

Find  a  b  c , when
(i) a =2i^-3j^, b =i^+j^-k^ and c =3i^-k^

(ii) a =i^-2j^+3k^, b =2i^+j^-k^ and c =j^+k^

Answer:

i Given: a =2i^-3j^b =i^+j^-k^ c =3i^-k^ a ×b =2i^-3j^×i^+j^-k^                =2k^+2j^+3k^+3i^                =3i^+2j^+5k^a× b. c=3i^+2j^+5k^.3i^-k^                  =9-5=4                         ...1Now,a b c=a× b. c              =4                                        Using 1

ii Given:a =i^-2j^+3k^b =2i^+j^-k^ c =j^+k^ a ×b =i^-2j^+3k^×2i^+j^-k^                =k^+j^+4k^+2i^+6j^-3i^                =-i^+7j^+5k^a× b. c=-i^+7j^+5k^.j^+k^                  =7+5=12                     ...1Now,a b c=a× b. c            =12                                  Using 1

Page No 26.16:

Question 3:

Find the volume of the parallelopiped whose coterminous edges are represented by the vectors:
(i) a =2i^+3j^+4k^, b =i^+2j^-k^, c =3i^-j^+2k^

(ii) a =2i^-3j^+4k^, b =i^+2j^-k^, c =3i^-j^-2k^

(iii) a =11i^, b =2j^, c =13k^

(iv) a =i^+j^+k^, b =i^-j^+k^, c =i^+2j^-k^

Answer:

i Given:a=2i^+3j^+4k^b=i^+2j^-k^ c=3i^-j^+2k^We know that the volume of a parallelopiped whose three adjacent edges are a, b, c is equal to a bc. Here,a bc = 2  341  2-13-12 = 2 4-1-32+3+4-1-6 = -37Volume of the parallelopiped =  a bc = -37 = 37 cubic units

ii Given:a=2i^-3j^+4k^b=i^+2j^-k^ c=3i^-j^-2k^We know that the volume of a parallelopiped whose three adjacent edges are a, b, c is equal to a bc. Here,a bc=2  -341  2-13-1-2 = 2 -4-1+3-2+3+4-1-6=-35Volume of the parallelopiped =  a bc=-35 = 35 cubic units

iii Given:a=11i^b=2j^ c=13k^We know that the volume of a parallelopiped whose three adjacent edges are a, b, c is equal to a bc. Here,a bc = 11  000  200013 = 11 26-0-00-0+00-0 = 286Volume of the parallelopiped =  a bc = 286 = 286 cubic units

iv Given:a=i^+j^+k^b=i^-j^+k c=i^+2j-k^We know that the volume of a parallelopiped whose three adjacent edges are a, b, c is equal to a bc. Here,a bc = 1  111  -1112-1 = 11-2-1-1-1+12+1=4Volume of the parallelopiped =  a bc = 4 = 4 cubic units

Page No 26.16:

Question 4:

Show the each of the following triads of vectors are coplanar:
(i) a =i^+2j^-k^, b =3i^+2j^+7k^, c =5i^+6j^+5k^

(ii) a =-4i^-6j^-2k^, b =-i^+4j^+3k^, c =-8i^-j^+3k^

(iii) a^=i^-2j^+3k^, b^=-2i^ +3j^-4k^, c^=i^-3j^+5k^

Answer:

i Given: a=i^+2j^-k^ b=3i^+2j^+7k^ c=5i^+6j^+5k^We know that three vectors a, b, c are coplanar iff their scalar triple product is zero, i.e. a b c = 0Here,           a b c=12-1327565=1 10-42-215-35-118-10=0Hence, the given vectors are coplanar.


ii Given: a=-4i^-6j^-2k^ b=-i^+4j^+3k^c=-8i^-j^+3k^We know that three vectors a, b, c are coplanar iff their scalar triple product is zero, i.e. a b c=0.Here,    a b c =-4-6-2-143-8-13 =-412+3+6-3+24-21+32=0Hence, the given vectors are coplanar.


iii Given:a= i^-2j^+3k^ b=-2i^+3j^-4k^ c=i^-3j^+5k^We know that three vectors a, b, c are coplanar iff their scalar triple product is zero, i.e. a b c=0.Here, a b c =1-23-23-41-35=115-12+2-10+4+36-3=0Hence, the given vectors are coplanar.

Page No 26.16:

Question 5:

Find the value of λ so that the following vectors are coplanar:
(i) a =i^-j^+k^, b =2i^+j^-k^, c =λi^-j^+λk^

(ii) a =2i^-j^+k^, b =i^+2j^-3k^, c =λi^+λj^+5k^

(iii) a =i^+2j^-3k^, b =3i^+λj^+k^, c =i^+2j^+2k^

(iv) a =i^+3j^, b =5k^, c =λi^-j^

Answer:

i Given: a=i^-j^+k^ b=2i^+j^-k^ c=λi^-j+λk^We know that vectors a, b, c are coplanar iff a b c=0.It is given that a, b, c are coplanar. a b c =01-1121-1λ-1λ =0 1 λ-1+12λ+λ+1-2-λ = 0λ-1+3λ-2-λ=03λ - 3 = 0 λ = 1

ii Given: a=2i^-j^+k^ b=i^+2j^-3k^  c=λi^+λj+5k^We know that vectors a, b, c are coplanar iff a b c=0.It is given that a, b, c are coplanar. a b c=02-1112-3λλ5 = 0 210+3λ+15+3λ+1λ-2λ= 0 8λ + 25 =0 λ = -258

iii Given:a=i^+2j^-3k^ b=3i^+λj^+k^ c=i^+2j^+2k^We know that vectors a, b, c are coplanar iff a b c=0.It is given that a, b, c are coplanar. a b c = 0   12-33λ1122=0 12λ-2-26-1-36-λ= 05λ-30= 0 λ = 6

iv Given: a=i^+3j^ b=5k^ c=λi^-j^We know that vectors a, b, c are coplanar iff a b c = 0.It is given that a, b, c are coplanar. a b c=0130005λ-10 = 0 10+5-30-5λ+00-0= 05 + 15λ = 0 λ = -13



Page No 26.17:

Question 6:

Show that the four points having position vectors 6i^-7j^, 16i^-19j^-4k^, 3j^-6k^, 2i^+5j^+10k^ are not coplanar.

Answer:

Let A, B, C and D be the given points. These points will be coplanar iff any one of the following triads of vectors are coplanar:AB, AC, AD; AB, BC, CD; BC, BA, BD, etc.To show that AB, AC, AD are not coplanar, we have to prove that their scaler triple product,i.e. AB AC AD  0Now, PQ= Position vector of Q - Position vector of PAB =16i^-19j^-4k^- 6i^ -7j^ = 10i^ -12j^-4k^AC =3j^-6k^- 6i^ -7j^ = -6i^ +10 j^-6k^AD  = 2i^ +5j^+10k^- 6i^ -7j^ =-4i^+12j^+10k^  AB AC  AD = 10-12-4-610-6-41210=10100+72+12-60-24-4-72+40 = 840  0Thus, the given points are not coplanar.                                                                    

Page No 26.17:

Question 7:

Show that the points A (−1, 4, −3), B (3, 2, −5), C (−3, 8, −5) and D (−3, 2, 1) are coplanar.

Answer:

The points A, B, C and D will be coplanar iff any one of the following triads of vectors are coplanar: AB, AC, AD; AB, BC, CD; BC, BA, BD, etc.To show that AB, AC, AD are coplanar, we have to prove that their scaler triple product,i.e. AB AC AD  = 0Now,AB =3--1 i^ +2-4j^ + -5--3 k^ =4i ^-2 j^ -2 k^ AC =-3--1 i^ + 8-4 j^ + -5--3k^ = -2i^ +4 j^ -2 k^ AD = -3--1 i^ + 2-4 j^ + 1--3 k^ = -2 i^-2 j^ + 4 k^  AB AC  AD = 4-2-2-24-2-2-24= 416-4+2-8-4-24+8 = 0Thus, the given points are coplanar.

Page No 26.17:

Question 8:

Show that four points whose position vectors are 6i^-7j^, 16i^-19j^-4k^, 3i^-6k^, 2i^-5j^+10k^ are coplanar.

Answer:

DISCLAIMER: Given points are not coplanar.

Let A, B, C, D be the given points. The given points will be coplanar iff any one ofthe following triads of vectors are coplanar:           AB, AC, AD ; AB, BC, CD ; BC, BA, BD etc.In order to show that AB, AC, AD are coplanar, we will have to show that their scaler tripleproduct i.e. AB AC AD  = 0Using,  PQ =Position vector of  Q - Position vector of P, we obtainNow,                AB =16i^-19j^-4k^-6i^ -7j^ = 10i^-12j^-4k^                AC= 3i^-6k^-6i^ -7j^ =-3i^+7j^-6k^and,       AD =2i^-5j^+10k^-6i^ -7j^ = -4i^+2j^+10k^       AB AC  AD = 10-12-4-37-6-4210= 1070+12+12-30-24-4-6+28 = 84Thus, the given points are not  coplanar.

Page No 26.17:

Question 9:

Find the value of λ for which the four points with position vectors -j^-k^, 4i^+5j^+λk^, 3i^+9j^+4k^ and -4i^+4j^+4k^ are coplanar.

Answer:

Let A, B, C and D be the given points. Then,AB =(4i^+5j^+λk^)-( 0i^-j-k)=4i^+6j^+(λ+1)k^ AC=(3i^+9j^+4k^)-( 0i^-j^-k^) =3i^+10j^+5k^  AD=(-4i^+4j^+4k^)-(0i^-j^-k^ ) =-4i^+5j^+5k^The given points are coplanar iff vectors AB , AC, AD are coplanar.Now, AB , AC, AD are coplanar.ABACAD=0 46(λ+1)3105-455 =04(50-25)-6 (15+20) + (λ+1)(15+40)=0100-210+55λ+55=055λ = 55 λ =1  

Page No 26.17:

Question 10:

Prove that:  a -b · b -c × c -a =0

Answer:

We have (a-b).(b-c) × (c-a)                =(a-b) . ( b×c-b×a-c×c+c×a)                                                                    (By distributive law)               = ( a-b ) . ( b¯×c-b×a+c×a )                                                                             ( c×c=0)=( a-b ) . ( b¯×c+a×b+c×a ) =  a.(b×c) +a.(a×b) +a.(c×a) - b.(b×c) -b.(a×b) - b.(c×a)              (By distributive law)=abc +aab +aca -bbc -b a b -bca= abc +0+0-0-0-abc                 abc=bca                   = 0

Page No 26.17:

Question 11:

a, b and c are the position vectors of points A, B and C respectively, prove that: a ×b +b ×c +c ×a is a vector perpendicular to the plane of triangle ABC.

Answer:

We know that if any vector is perpendicular to all three sides of ABC, it must be perpendicular to the plane of ABC.Now,AB = b-a , BC = c-b , CA = a-c              Position vectors of A, B and C are a, b, c      We have AB.( a×b + b×c + c×a )= b-a.a×b + b×c + c×a = b. a×b+b.b×c+b.c×a-a.a×b-a. b×c-a. c×a     By distributive law= b a b+b b c +b c a-a ab-a b c-a c a= 0 + 0  + b c a - 0 -abc - 0=  0                                   b c a=abc  BC.( a×b + b×c + c×a )= c-b.a×b + b×c + c×a = c. a×b+c.b×c+c.c×a-b.a×b-b. b×c-b. c×a    By distributive law= c a b+c b c +c c a-b a b-bbc-bc a=  c a b + 0 + 0 - 0 -0 - bc a=  0                                   c a b=bca              Similarly,    CA.( a×b + b×c + c×a )=a-c.a×b + b×c + c×a = a. a×b+a.b×c+ac×a-c.a×b-c. b×c-c. c×a     By distributive law= a a b+a b c +a c a-c ab-cbc-c c a=  0 + a b c + 0 -c ab -0 - 0=  0                                   c a b=abc      Hence, vector a×b + b×c + c×a is perpendicular to all sides of ABC and also perpendicular to the plane of ABC.        

Page No 26.17:

Question 12:

Let a =i^+j^+k^, b =i^ and c ^=c1i^+c2j^+c3k^. Then,
(i) If c1 = 1 and c2 = 2, find c3 which makes a, b and c coplanar.

(ii) If c2 = −1 and c3 = 1, show that no value of c1 can make a, b and c coplanar.

Answer:

i If c1=1 and c2=2, then a=i^+j^+k^, b=i^ and c^=i^+2j^+c3k^.We know that vectors a, b, c are coplanar iff a b c=0.It is given that a, b, c are coplanar. a b c = 0    11110012c3=0 10-0-1c3-o+12-0=0-c3 + 2=0c3=2

ii If c2=-1 and c3=1, then a=i^+j^+k^, b=i^ and c^=c1i^-j^+k.^We know that vectors a, b, c are coplanar iff a b c=0.For a, b, c to be coplanar:a b c = 0111100c1-11=0 10-0-11-0+1-1-0=0-1-1=0-2=0But this is never possible, whatever be the value of c1. Thus, no vaue of c1 can make a, b and c coplanar.

Page No 26.17:

Question 13:

Find λ for which the points A (3, 2, 1), B (4, λ, 5), C (4, 2, −2) and D (6, 5, −1) are coplanar.

Answer:

The points A, B, C and D will be coplanar iff any one of the following traces of vectors are coplanar:AB, AC, AD; AB, BC, CD; BC, BA, BD, etc.It is given that AB, AC, AD are coplanar.Thus, their scaler triple product AB AC  AD is equal to zero.Now,Direction ratios of the PQ=Direction ratios of vector Q-Direction ratios of the vector PDirection ratios of vector AB = 4-3, λ-2, 5-1, i.e. 1, λ-2, 4Direction ratios of vector AC = 4-3, 2-2, -2-1, i.e. 1, 0, -3Direction ratios of vector AD = 6-3, 5-2,-1-1, i.e. 3, 3, -2 AB AC  AD=1λ-2410-333-2=10--9-λ-2-2--9+43-0=0 7λ=35λ=5

Page No 26.17:

Question 14:

If four points A, B, C and with position vectors 4i^+3j^+3k^, 5i^+ xj^+ 7k^, 5i^+3j^ and 7i^ + 6j^ + k^ respectively are coplanar, then find the value of x.

Answer:


Let OA=4i^+3j^+3k^, OB=5i^+xj^+7k^, OC=5i^+3j^ and OD=7i^+6j^+k^.

AB=5i^+xj^+7k^-4i^+3j^+3k^=i^+x-3j^+4k^

AC=5i^+3j^-4i^+3j^+3k^=i^-3k^

AD=7i^+6j^+k^-4i^+3j^+3k^=3i^+3j^-2k^

Since the given four points are coplanar, so the vectors AB, AC and AD are also coplanar.

ABACAD=0

1x-3410-333-2=010+9-x-3-2+9+43-0=09-7x+21+12=07x=42x=6
Thus, the value of x is 6.

Page No 26.17:

Question 1:

Write the value of 2i^ 3j^ 4k^.

Answer:

We have2i^ 3j^ 4k^=2i^×3j^·4k^       a b c=a×b.c=6k^·4k^ =24

Page No 26.17:

Question 2:

Write the value of i^+j^ j^+k^ k^+i^.

Answer:

We havei^+j^  j^+k^ k^ +i^=i^+j^× j^+k^· k^ +i^                          a b c=a×b.c                            =i^×j^+i^×k^+j^×j^+j^×k^· k^ +i^                            =k^ -j^+i^· k^ +i^                            =k^·k^+k^·i^-j^·k^-j^·i^+i^·k^+i^·i^                            =1+0-0-0+0+1=2

Page No 26.17:

Question 3:

Write the value of i^-j^ j^-k^ k^-i^.

Answer:

We havei^-j^  j^-k^  k^-i^=i^-j^× j^-k^· k^-i^       a b c=a×b.c                            =i^×j^-i^×k^-j^×j^+j^×k^· k^-i^                            =k^+j^+i^· k^-i^                            =k^·k^-k^·i^+j^·k^-j^·i^+i^·k^-i^·i^                            =1-0+0-0+0-1=0

Page No 26.17:

Question 4:

Find the values of 'a' for which the vectors α =i^+2j^+k^, β =ai^+j^+2k^ and γ =i^+2j^+ak^ are coplanar.

Answer:

Given:α =i^+2j^+k^β =ai^+j^+2k^ γ =i^+2j^+ak^

We know that three vectors α, β, γ are coplanar iff their scalar product is zero. α β γ=0121a1212a=01a-4-2a2-2+12a-1=0 -2a2+3a-1=0 2a2-3a+1=0a-12a-1=0a=1, 12



Page No 26.18:

Question 5:

Find the volume of the parallelopiped with its edges represented by the vectors i^+j^, i^+2j^ and i^+j^+πk.

Answer:

Let:a=i^+j^b=i^+2j^ c=i^+j^+πk^We know that the volume of a parallelopiped whose three adjecent edges are a, b and c is equal to a b c.We havea b c=11012011π=12π-0-1π-0+01-2=2π-π=π  Volume=a b c=π=π cubic units

Page No 26.18:

Question 6:

If a, b are non-collinear vectors, then find the value of a b i ^i ^+a b j ^j ^+a b k^k^.

Answer:

For any vector r, we have r·i^i^+r·j^j^+r·k^k^ =rReplacing r by a×b, we have a×b·i^ i^+ a×b·j^ j^+a×b·k^ k^=a×b  a b i^ i^+a b j^ j^+a b k^ k^= a×b

Page No 26.18:

Question 7:

If the vectors (sec2A) i^+j^+k^, i^+sec2 Bj^+k^, i^+j^+sec2 Ck^ are coplanar, then find the value of cosec2A + cosec2B + cosec2C.

Answer:

Let: a=sec2Ai^+j^+k^, b=i^+sec2Bj^+k^ and c=i^+j^+sec2 Ck^We know that three vectors are coplanar iff their scaler triple product is zero. i.e., a b c=0Here,    a b c=0sec2A111sec2B111sec2 C=0  sec2Asec2B×sec2 C-1-1sec2 C-1+11-sec2B=0sec2A sec2B sec2C-sec2A-sec2C+1+1-sec2B=01+tan2A 1+tan2B 1+tan2C-1+tan2A-1+tan2C+1+1-1+tan2B=0

1+tan2A+tan2B+tan2C+tan2A tan2B+tan2B tan2C+tan2C tan2A+tan2A tan2B tan2C-1-tan2A-1-tan2C+1+1-1-tan2B=0tan2A tan2B+tan2B tan2C+tan2C tan2A+tan2A tan2B tan2C=0tan2A tan2B+tan2B tan2C+tan2C tan2A=-tan2A tan2B tan2Ctan2A tan2B+tan2B tan2C+tan2C tan2Atan2A tan2B tan2C=-1cot2C+cot2A+cot2B=-1cosec2C-1+cosec2A-1+cosec2B-1=-1  cosec2A+cosec2B+cosec2C=2

Page No 26.18:

Question 8:

For any two vectors a and b of magnitudes 3 and 4 respectively, write the value of  a b a ×b + a ·b 2.

Answer:

We have a b a×b +a.b2= a×b.a×b + a.b2                By definition of scalar triple product= a×b2 + a.b2 = ab sinθ 2+abcosθ2= ab2sin2θ + ab2cos2θ= ab2sin2θ +cos2θ= ab2                                         sin2θ +cos2θ=1 = 3×42                                                   Given: a=3 and b=4= 144                 

Page No 26.18:

Question 9:

If 3a +7b c d =λ a c d +μ b c d , then find the value of λ + μ.

Answer:

We have3a+7b c d=λ a c d+μb c d3a+7b×c.d=λ a c d+μb c d         By definition of scalar triple product3a×c+7b×c .d=λ a c d+μb c d       3a×c.d+7b×c.d=λ a c d+μb c d    3a c d+ 7b c d=λ a c d+μb c d3 a c d+7 b c d=λ a c d+μb c d       λa b c=λa b c for any scalar λComparing both sides, we getλ=3 μ=7 λ+ μ=3+7=10

Page No 26.18:

Question 10:

If a, b, c are non-coplanar vectors, then find the value of a · b ×c  c ×a ·b +b · a ×c c · a ×b 

Answer:

We have  a.b×cc×a.b +b.a×cc.a×b=a b ccab + b a cc a b                  By definition of scalar triple product=a b ca b c +-a b ca b cChange of cyclic order of vectors changes the sign of the scalar triple product=1-1=0

Page No 26.18:

Question 11:

Find a.b×c, if a=2i^+j^+3k^, b=-i^+2j^+k^ and c=3i^+j^+2k^.                    [CBSE 2014]

Answer:


The given vectors are a=2i^+j^+3k^, b=-i^+2j^+k^ and c=3i^+j^+2k^.  

Now,

b×c=i^j^k^-121312=3i^+5j^-7k^

a.b×c=2i^+j^+3k^.3i^+5j^-7k^=2×3+1×5+3×-7=6+5-21=-10

Page No 26.18:

Question 1:

If a lies in the plane of vectors b and c , then which of the following is correct?
(a)  a b c =0

(b)  a b c =1

(c)  a b c =3

(d)  b c a =1

Answer:

(a)  a b c =0

  If a lies in the plane of vectors b and c, then a, b, c will lie in the same plane, i.e. they will be coplanar. a b c=0 

Page No 26.18:

Question 2:

The value of  a -b , b -c , c -a , where  a =1,  b =5,  c =3, is
(a) 0
(b) 1
(c) 6
(d) none of these

Answer:

(a) 0

We have a-b, b-c, c-a=a-b×b-c.c-a By definition of scalar triple product=a-b×b-a-b×c.c-a=a×b-b×b-a×c+b×c.c-a=a×b-0-a×c+b×c.c-a=a×b.c-a-a×c.c-a+b×c.c-a=a×b.c-a×b.a -a×c.c+a×c.a+b×c.c-b×c.a=abc-aba-acc+aca+bcc-bca=abc-0-0+0+0-abc   abc=bca=cab=0

Page No 26.18:

Question 3:

If a, b, c are three non-coplanar mutually perpendicular unit vectors, then  a b c , is
(a) ± 1
(b) 0
(c) −2
(d) 2

Answer:

a±1We have abc=a×b.c=a×bccos0° or a×bccos180°                         a, b, c are perpendicular to each other=a×b or - a×b                                                      c=1, cos0°=1 and cos180°=-1 =absin90° or -absin90°                                                  a is perpendicular to b=1  or -1                                                                        a=1 and b=1=± 1

Page No 26.18:

Question 4:

If r·a=r·b=r·c=0 for some non-zero vector r, then the value of  a b c , is
(a) 2
(b) 3
(c) 0
(d) none of these

Answer:

(c) 0

If r.a=0 for some non-zero vector r, then either a is a zero-vector or it is perpendicular to r. If one of a, b, c¯ is zero, then abc=0 If all a, b and c are non-zero, then they must be coplanar as they are perpendicular to vector r.  abc=0



Page No 26.19:

Question 5:

For any three vectors a, b, c the expression a -b .b -c ×c -a  equals
(a)  a b c 

(b) 2 a b c 

(c)  a b c 2

(d) none of these

Answer:

(d) none of these      

We have a-b.b-c×c-a=a-b.b-c×c-b-c×a  =a-b.b×c-c×c-b×a+c×a   =a-b.b×c-0-b×a+c×a    =a-b.b×c-a-b.b×a+a-b.c×a=a.b×c-b.b×c-a.b×a+b.b×a+a.c×a-b.c×a=abc-0-0+0+0-bca               bbc=aba=b ba=0=abc-abc abc=bca=c ab=0

Page No 26.19:

Question 6:

If a, b, c are non-coplanar vectors, then a · b ×c  c ×a ·b +b · a ×c c · a ×b  is equal to
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) none of these

Answer:

(a) 0

We havea.b×cc×a.b +b.a×cc.a×b=abccab + baccab      By definition of scalar tiple product=abcabc +-abcabc Change in cyclic order of vectors changes the sign of the scalar triple product=1-1=0

Page No 26.19:

Question 7:

Let a =a1i^+a2j^+a3k^, b =b1i^+b2j^+b3k^ and c =c1i^+c2j^+c3k^ be three non-zero vectors such that c is a unit vector perpendicular to both a and b . If the angle between a and b  is π6, then a1a2a3b1b2b3c1c2c32is equal to

(a) 0
(b) 1
(c) 14 a 2  b 2

(d) 34 a 2  b 2

Answer:

(c) 14 a 2  b 2

We have a1a2a3b1b2b3c1c2c32=a×b.c2            By definition of scalar triple product= a×bccos0°2           a×b is parallel to vector c as c is perpendicular to both a and b= absinπ62             c=1 and angle between a and b is π6= a2b2122 = 14 a2b2

Page No 26.19:

Question 8:

If a =2i^-3j^+5k^, b =3i^-4j^+5k^ and c =5i^-3j^-2k^, then the volume of the parallelopiped with conterminous edges a +b, b +c, c +a is
(a) 2
(b) 1
(c) −1
(d) 0

Answer:

  We havea + b = 2i^ - 3j^ + 5k^ + 3i^ - 4j^ + 5k^ = 5i^ - 7j^ + 10k^b + c = 3i^ - 4j^ + 5k^ + 5i^ - 3j^ - 2k^ = 8i^ - 7j^ + 3k^ c + a = 5i^ - 3j^ - 2k^ + 2i^ - 3j^ + 5k^ = 7i^  -6j^ + 3k^We know that the volume of a parallelopiped whose three adjacent adges are a + b,  b + c and c + a is equal to a + b b + c  c + a.We havea + b b + c  c + a  = 5-7108-737-63                                      =5-21 + 18 + 724 - 21 + 10-48 + 49                                           =5 × -3 + 7 × 3 + 10 × 1                                           =16 Volume of parallelopiped =16=16


Disclaimer: None of the given options is correct.

Page No 26.19:

Question 9:

If  2a +4b c d =λ a c d +μ b c d , then λ + μ =
(a) 6
(b) −6
(c) 10
(d) 8

Answer:

(a) 6

We have2a+4b c d=λ a c d + μb c d2a+4b×c.d=λ a c d + μb c d                        By definition of scalar triple product2a×c+4b×c .d=λ a c d + μb c d2a×c.d + 4b×c.d=λ a c d + μb c d2a c d + 4b c d=λ a c d + μb c d2 a c d +4 b c d=λ a c d + μb c d         λa b c=λa b c for any scalar λComparing both sides, we getλ=2 μ=4 λ+μ =2+4=6         

Page No 26.19:

Question 10:

 a b a ×b + a .b 2=

(a)  a 2  b 2

(b)  a +b 2

(c)  a 2+ b 2

(d) 2 a 2  b 2

Answer:

a a2b2We havea b a×b + a.b2=a×b . a×b + a.b2=a×b2+ a.b2= ab sin θ2 + a b  cos θ2=a2b2 sin2θ + a2b2 cos2θ=a2b2sin2θ  + cos2θ =a2b2                 

Page No 26.19:

Question 11:

If the vectors 4i^+11j^+mk^, 7i^+2j^+6k^ and i^+5j^+4k^ are coplanar, then m =
(a) 0
(b) 38
(c) −10
(d) 10

Answer:

d 10Let:a = 4i^ + 11j^ + mk^ b = 7i^ + 2j^ +6k^ c = i^ + 5j^ + 4k^We know that vectors a, b and c are coplanar iff their scalar triple product is zero, i.e. a b c=0 411m726154 = 0         48-30  - 1128-6 + m35-2=0  -88 - 242 + 33m=0 33m=330  m=10                      

Page No 26.19:

Question 12:

For non-zero vectors a, b and c the relation a ×b ·c = a   b   c  holds good, if
(a) a ·b =b ·c =0

(b) a ·b = 0=c ·a 

(c) a ·b =b ·c =c ·a =0

(d) b ·c =c ·a =0

Answer:

   c a.b= b.c= c.a=0We havea × b.c = a × b c cosθ= a × b c          If θ=0° or 180°, i.e. vectors a × b and c are parallel= ab sin αc= abc                  If α=90°, i.e. vectors a  and b are perpendicular a × b.c = abc   If vectors a, b, c are perpendicular to each otherThus, the relation a × b.c=abc holds good if a.b= 0 , b.c=0 and c.a=0.

Page No 26.19:

Question 13:

 a +b · b +c × a +b +c =

(a) 0

(b) - a b c 

(c) 2 a b c 

(d)  a b c 

Answer:

d a b c We havea + b.b + c×a + b +c= a + b.b+ c×a +b + c×b +b + c×c= a + b.b × a+c×a + b×b + c×b + b×c +  c×c= a + b.b × a+ c×a + 0 + c×b + b×c +0 = a + b.b × a+ c×a -  b×c + b×c = a + b.b × a+ c×a  = a.b×a + b.b×a + a.c×a  + b.c×a = 0 + 0 + 0 +  b c a = b c a   =   a b c            

Page No 26.19:

Question 14:

If a, b, c are three non-coplanar vectors, then a +b +c .a +b ×a +c  equals

(a) 0

(b) a b c 

(c) 2a b c 

(d) -a b c 

Answer:

d -a b cWe havea+ b+ c . a+ b × a+ c=a+ b+ c . a+ b×a + a+ b×c             By definition of cross poduct=a+ b+ c . a×a + b×a + a×c + b×c =a+ b+ c . 0 + b×a + a×c + b×c= a.b×a  + a.a×c + a.b×c + b.b×a  +b.a×c + b.b×c+ c.b×a  + c.a×c + c.b×c =a b a + a a c + a b c + b b a + b a c + b b c + c b a + c a c + c b c=0 + 0 + a b c + 0 + b a c  + 0 + c b a +0 +  0=a b c-a b c -  a b c                                                                      b a c = -c a b, b a c =-a b c =-a b c



Page No 26.20:

Question 15:

a +2b -c ·a -b ×a -b -c  is equal to

(a) a b c 

(b) 2a b c 

(c) 3a b c 

(d) 0

Answer:

c 3 a b cWe havea + 2b - c.a - b×a- b- c=a + 2b - c.a - b×a - a - b×b -  a - b×c=a + 2b - c.a×a - b×a - a×b + b× b- a ×c + b×c=a + 2b - c.0 - b×a -   a×b + 0  - a ×c +b×c=a + 2b - c.-  a ×c + b×c                                                                                         ( a×b=-  b×a)=- a.a ×c + a. b×c -  2b.a ×c  + 2b.b×c + c.a ×c - c.b×c=0 + a b c -2 b a c   +  0 + 0 -0                                                                               ( λa b c=λa b c for any scalar λ)   =3 a b c                                                                                                                                     ( - b a c=a b c)          



View NCERT Solutions for all chapters of Class 12